Indeksita familio

En matematiko, indeksita familio estas indeksita kolekto aŭ aro. Ĝi estas formala versio de priserĉo de tabelo. Ĝi konsistas el aro, nomita kiel la indeksa aro, enhavanta la ŝlosilojn, kaj surĵeto de tiuj ŝlosiloj sur la eroj de la familio. Ĉiu ŝlosilo montras al akurate unu ero de la familio kaj ĉiu ero apartenas al almenaŭ unu ŝlosilo. Ĉar malsamaj ŝlosiloj povas indiki al la sama ero, familio povas, malkiel aro, enhavi la saman eron kelkfoje, tial difinante multaron. Plue iu ajn aldona strukturo de la indeksa aro etendiĝas al la familio. De ĉi tie, ordigita familio estas familio kun ordigita indeksa aro.

Formale, familio estas triopo (X, I, ι) de aroj X kaj I kaj surĵeta funkcio ι: I → X.

Notacio

Familio estas signifita per (A_I)_I∈I kie I estas la indeksa aro kaj i → A_i estas la surĵeto. Do A_i estas la ero apartenanta al la ŝlosilo i , ankaŭ nomita la i-a ero de la familio.

Uzante krispaj krampoj anstataŭ rondaj krampoj, {A_i}_I∈I , indikas multaron (se neniu ero okazas pli ol finia kvanto de fojoj).

{A_i | i∈I} estas nestrukturigita aro.

Ekzemploj

Indeksa notacio

Kiam ajna indeksa notacio estas uzita, la indeksitaj objektoj formas familion. Ekzemple, konsideru:

La vektoroj v₁, …, v_n estas lineare sendependaj. Tie (v_i)_{i ∈ {1, …, n}} estas familio de vektoroj. La i-a vektoro v_i nur faras sencon kun respekto al tiu familio, ĉar aroj estas neordigita kaj estas ne estas i-a vektoro en la aro. Plue, lineara sendependeco estas difinita nur kiel la propraĵo de kolekto, tial estas grave ĉu tiuj vektoroj estas lineare sendependaj kiel aro aŭ kiel familio.

Se ni konsideras ke n=2 kaj v₁ = v₂ = (1, 0), do la aro de ili konsistas el nur unu ero kaj estas lineare sendependa, sed la familio enhavas la saman eron dufoje kaj ne estas lineare sendependa.

Ne estas klare, ĉu la aŭtoroj pretendas, ke la vektoroj estas linearaj sendependaj kiel familio aŭ kiel aro.

Matricoj

Ekzemple, konsideru:

Matrico A estas inversigebla, se kaj nur se la linioj de A estas lineare sendependaj.

Kiel en la pli supra ekzemplo ĝi estas grava ke la linioj de A estas lineare sendependaj kiel familio, ne kiel aro. Ĉar, se ni konsideras la matricon

$A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}$

do la aro de vicoj konsistas el nu unusola ero (1, 1) kaj estas lineare sendependa, sed la matrico estas ne inversigebla. La familio de vicoj enhavas du erojn kaj estas lineare dependa. La propozicio estas pro tio ĝusta, se temas pri la familio de vicoj, sed erara se ĝi temas pri la aro de vicoj.

Funkcioj, aroj kaj familioj

Estas dissurĵeta rilato inter surĵetaj funkcioj kaj familioj, ĉar iu ajn funkcio f kun domajno I estigas familion (f(i))_i∈I. Sed, malkiel funkcio, familio estas konsiderata kiel kolekto, kaj esti ero de familio ekvivalentas esti en la aro de valoroj de la respektiva funkcio. La familio enhavas ajnan eron nur unufoje, se kaj nur se la respektiva funkcio estas disĵeta.

Kiel aro, familio estas ujo kaj iu ajn aro X estigas familion (x)_x∈X. Tial iu ajn aro nature iĝas familion. Por iu ajn familio (A_i)_i∈I estas la aro de ĉiuj eroj {A_i | i∈I}, sed tio ne portas informon pri multobla entenado aŭ la strukturo de I. Tial, se oni uzas aron anstataŭ la familio, iu informo povus perdiĝi.

Ekzemploj

Lasu n esti la finia aro {1,2, ..., n}, kie n estas pozitiva entjero.

Ordigita duopo estas familio indeksita per la du-era aro 2 = {1, 2}.
Pli ĝenerale, n-opo estas familio indeksita per la finia aro {1, 2, …, n}
Malfinia sekvenco (vico) estas familio indeksita per la naturaj nombroj.
Listo estas n-opo por nespecifigita n, aŭ malfinia sekvenco.
Matrico n×m estas familio indeksita per la kartezia produto {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m}.
Reto estas familio indicita per direktita aro.

Operacioj super familioj

Indeksaj aroj estas ofte uzataj en sumoj kaj aliaj similaj operacioj. Ekzemple, se (a_i)_i∈I estas familio de nombroj, la sumo de ĉiuj tiuj nombroj estas signifata per

\sum _{i\in I}a_{i}

Kiam (A_i)_i∈I estas familio de aroj, la unio de ĉiuj tiuj aroj estas signifita per

\bigcup _{i\in I}A_{i}

Simile estas por komunaĵo kaj kartezia produto.

Subfamilio

Familio (B_i)_i∈J estas subfamilio de familio (A_i)_i∈I, se kaj nur se J estas subaro de I kaj por ĉiuj i en J

B_i = A_i

Uzado en teorio de kategorioj

Pli ĝenerale, funktoro povas esti konsiderata kiel generanta indeksitan familion de objektoj en kategorio D, indeksita per alia kategorio C, kaj rilatanta per strukturkonservantaj transformoj dependanta sur du indeksoj.

Vidu ankaŭ