Matrico de Hesse

En matematiko, la matrico de Hesse estas kvadrata matrico de duaj partaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio. Por reelo-valora funkcio

f(x₁, x₂, ..., x_n),

se ĉiuj partaj duaj derivaĵoj de f ekzistas, la matrico de Hesse de f estas matrico

H(f)_ij(x) = D_i D_j f(x)

kie x = (x₁, x₂, ..., x_n). Tio estas,

$H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

Miksitaj derivaĵoj kaj simetrio de la matrico

La miksitaj derivaĵoj de f estas la elementoj ne sur la ĉefa diagonalo en la matrico. Ofte, la ordo de diferencialado ne gravas. Ekzemple:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)$

Ĉi tio povas ankaŭ esti skribita kiel:

$\partial _{xy}f=\partial _{yx}f$

Se la ĉiuj duaj derivaĵoj de f estas kontinuaj en regiono D, do la matrico de Hesse de f estas simetria matrico en D. (Vidu en simetrio de duaj derivaĵoj.)

Kritikaj punktoj kaj diskriminanto

Se la gradiento de f (kio estas ĝia derivaĵo en la vektoro senco) estas nulo je iu punkto x, tiam f havas kritan punkton je x. La determinanto de la matrico de Hesse je x estas tiam nomata kiel la diskriminanto. Se ĉi tiu determinanto estas nulo tiam x estas degenera krita punkto de f. Alie ĝi estas ne degenera.

Dua derivaĵa provo

Jena provo povas esti aplikita je ne-degenera krita punkto x. Se la matrico de Hesse estas pozitive difinita matrico je x, tiam f atingas lokan minimumon je x. Se la matrico de Hesse estas negative difinita je x, tiam f atingas lokan maksimumon je x. Se la matrico de Hesse havas ambaŭ pozitivan kaj negativan ejgenojn tiam x estas sela punkto por f (ĉi tio estas vera eĉ se x estas degenera).

Por pozitive duondifina kaj negative duondifina matricoj de Hesse la provo estas ne donas rezulton. Tamen, io plua povas esti dirita de la punkto de vido de morsa teorio.

La dua derivaĵa provo por funkcioj de unu kaj du variabloj estas simpla. Por unu variablo, la matrico de Hesse enhavas nur unu duan derivaĵon; se ĝi estas pozitiva tiam x estas loka minimumo, se ĝi estas negativa tiam x estas loka maksimumo; se ĝi estas nulo tiam la provo ne donas rezulton.

Por funkcio de du variabloj oni povas ne zorgi pri trovo de la ejgenoj, sed simple uzi la diskriminanton, ĉar por 2x2-matrico la determinanto ĉiam estas produto de la ejgenoj. Se ĝi estas pozitiva, do la ejgenoj estas aŭ ambaŭ pozitivaj, aŭ ambaŭ negativaj. Tiam oni povas rigardi la signon de iu dua derivaĵo kaj konkludi, ĉu la punkto estas maksimumo aŭ minimumo. Se ĝi estas negativa, do la du ejgenoj havas malsamajn signojn, kaj sekve la punkto estas selo. Se ĝi estas nulo, tiam la dua derivaĵa provo ne donas rezulton.

Vektoro-valoraj funkcioj

Se f estas vektoro-valora, kio estas

f=(f₁(t), ..., f_n(t)),

tiam la tabelo de duaj partaj derivaĵoj estas ne matrico sed tensoro de rango 3.

Vidu ankaŭ

• Gradiento - vektoro de la unuaj derivaĵoj de skalaro-valora funkcio
• Jakobia matrico - matrico de la unuaj derivaĵoj de vektoro-valora funkcio
• Serio de Taylor - la matrico de Hesse aperas en serio de Taylor de funkcio de kelkaj variabloj