Bazo (nombrosistemo)

Ĉi tiu artikolo temas pri entjero (kutime 10, 2, aŭ 16) kiu regas manieron reprezenti nombrojn. Koncerne aliajn signifojn aliru la apartigilon Bazo.

En matematiko, la bazo estas kutime la nombro de diversaj unikaj simboloj (ciferoj), inkluzivanta nulon. Tiel pozicia prezento de nombroj estas uzata por prezenti nombrojn en donita kalkulo-sistemo. Ekzemple, la dekuma sistemo, la plej komuna sistemo en uzo hodiaŭ, uzas bazon dek, de ĉi tie la maksimuma sola cifero estas 9, post ĉi tiu necesas aldoni alian ciferon por prezenti pli grandan nombron.

En certaj ne-normaj poziciaj nombrosistemoj, la difino de la bazo dekliniĝas de la pli supre donita.

La plej alta simbolo de pozicia prezento kutime havas la valoron je unu malpli grandan ol la valoro de la bazo de tiu prezento (escepte de signo-cifera prezento kaj dissurĵeta numerado). La diversaj poziciaj prezentoj diferenciĝas unu de la alia nur en la bazoj kiujn ili uzas. La bazo mem estas preskaŭ ĉiam esprimita en dekuma nombrosistemo.

Iam la baza nombro estas skribata en suba indico post la nombro prezentita. Ekzemple, 23₈ indikas, ke la nombro 23 estas esprimita en bazo 8 (kaj estas ekvivalento en valoro al la dekuma frakcio 19). Ĉi tiu notacio estas uzata en ĉi artikolo.

Sistemo

Kiam priskribanta bazo en matematika notacio, la litero b estas ĝenerale uzata kiel simbolo por ĉi tiu koncepto, do, por duuma sistemo, b egalas 2. Alia komuna maniero esprimi la bazon estas skribi ĝin kiel dekuma suba indico post la nombra kiu estas prezentita. 1111011₂ signifas, ke la nombro 1111011 estas nombro en bazo 2, egala al 123₁₀ (dekuma nombrosistema prezento), 173₈ (okuma) kaj _7B_₁₆ (deksesuma). La bazo povas esti ne printita: Duuma 1111011 estas la sama kiel 1111011₂.

Kiam oni diras "bazo b", la b celas diri la dekuman valoron de "10" en bazo b. Ekzemple, bazo 5 signifas, ke 10₅ = 5₁₀. La plej granda cifero en bazo estas pro tio unu malpli ol la baza sin, kiel post ĉi tiu plej granda cifero, superflua cifero devas esti adiciita por fari 10 en tiu bazo.

Bazoj laboras uzante potencigon. Cifera valoro estas la cifero multiplikita per la valoro de ĝia loko. Loko-valoroj estas la nombro de la bazo altigita al la n-a potenco, kie n estas la nombro de ciferoj maldekstren de la cifero de unu.

Ekzemple, la nombro 465 en ĝia respektiva bazo (kiu estas klare almenaŭ bazo 7) estas egala al:

4\times 10^{2}+6\times 10^{1}+5\times 10^{0}

Nombroj, kiuj estas ne entjeroj uzas lokojn preter punkto aŭ komo. Por ĉiu pozicio malantaŭ ĉi tiu punkto (kaj tial post la cifero de unuoj), la potenco n malgrandiĝas per 1. Ekzemple, la nombro 2,35 estas egala al:

2\times 10^{0}+3\times 10^{-1}+5\times 10^{-2}

Ĉi tiu koncepto povas esti demonstraciita en la figuro. Unu objekto prezentas unu unuon. Kiam la nombro de objektoj egalas aŭ pli grandas ol la bazon b, tiam grupo de objektoj estas kreita kun b objektoj. Kiam la kvanto de ĉi tiuj grupoj superas b, tiam grupo de ĉi tiuj grupoj de objektoj estas kreitaj kun b grupoj de b objektoj, kaj tiel plu. Tial la sama prezento en malsamaj bazoj havas malsamajn valorojn:

241 en bazo 5:
2 grupoj de 5² (25)   4 grupoj de 5   1 grupo de 1
ooooo ooooo
ooooo ooooo            ooooo ooooo
ooooo ooooo      +                     +    o
ooooo ooooo            ooooo ooooo
ooooo ooooo

241 en bazo 8:
2 grupoj de 8² (64)   4 grupoj de 8   1 grupo de 1
oooooooo oooooooo        oooooooo
oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo        oooooooo 
oooooooo oooooooo    +               +    o
oooooooo oooooooo        oooooooo
oooooooo oooooooo
oooooooo oooooooo        oooooooo
oooooooo oooooooo

Konvertado inter bazoj

Bazoj povas esti konvertitaj unu al la alia per desegnaĵo la figuro pli supre kaj reordiganta la objektojn por konformi la novan bazon, ekzemple:

241 en bazo 5:
2 grupoj de 5² (25)   4 grupoj de 5   1 grupo de 1
ooooo ooooo
ooooo ooooo            ooooo ooooo
ooooo ooooo      +                     +    o
ooooo ooooo            ooooo ooooo
ooooo ooooo

estas egala al 107 en bazo 8:
1 grupoj de 8²   0 grupoj de 8   7 grupoj de 1
00000000
00000000                            0 0 0
00000000
00000000       +               +    0 0
00000000
00000000                            0 0 0
00000000
00000000

Estas, tamen, pli mallonga maniero kiu estas baze la pli supre maniero kalkulita matematike. La konvertilo laboras en iu certa bazo normale. La normala bazo estas kutime dek por homoj kaj du por komputiloj. Kaj estas pli simple pensi la nombrojn en tiamaniere kaj pro tio pli simple al konverti ilin al la normala bazo komence, kvankam estas eble (sed malfacile) konverti rekte inter du ne-normalaj bazoj neuzante tiujn interajn paŝojn.

Nombro a_na_n-1...a₂a₁a₀ kie a₀, a₁... a_n estas ĉiuj ciferoj en bazo B (Notu, ke ĉi tie, la suba indico ne indikas la bazan nombron; ĝi indikas malsamajn objektojn), la nombro povas esti prezentita en iu ajn alia bazo, inkluzivante dekuman, per:

\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times B^{i}\right)

Tial, en la ekzemplo pli supre:

241_{5}=2\times 5^{2}+4\times 5^{1}+1\times 5^{0}=50+20+1=71_{10}

Por konverti dekuman frakcion en bazo estas la alia procezo.

Tial, al konverti 71₁₀ enen bazo 8:

71 divide entjere je 8 → kvociento 8 (8 iras por plua prilaboro) restaĵo 7 (tiel 7 estas la lasta cifero)

8 divide entjere je 8 → kvociento 1 (1 iras por plua prilaboro) restaĵo 0 (tiel 0 estas la antaŭlasta cifero)

1 divide entjere je 8 → kvociento 0 (fino de prilaboro) restaĵo 1 (tiel 1 estas la antaŭantaŭlasta cifero)

Pro tio $71_{10}=1\times 8^{2}+0\times 8^{1}+7\times 8^{0}=107_{8}$

Aplikoj

La dekuma sistemo, bazo 10, estas la bazo uzita en hodiaŭa ĉiutaga vivo. Oni kredas, ke ĝi devenis de tio ke homoj havas dek fingrojn. Tamen, aliaj civilizoj kaj ĉirkaŭtekstoj uzadis/as malsamajn bazojn.

Historiaj sistemoj

La Babilona civilizo uzadis la sistemon de bazo 60. Pro tiu tradicio ni ankoraŭ nombras 60 sekundojn en minuto, kaj 60 minutojn en horo. Tie estita ne, tamen, 60 malsamajn simbolojn, kiel oni devus atendi — ĉiu "cifero" estis prezentita per ia dekuma sistemo, ekzemple, "12 35 1" = 12×60² + 35 ×60 + 1. La babilonanoj havis siajn proprajn simbolojn.

Komputiliko

En komputiliko, la bazoj duuma (bazo 2) kaj deksesuma (bazo 16) estas uzataj. Komputiloj, je la tre plej simpla nivelo, kontrakto nur kun serioj de "1" kaj "0", tial estas pli simple en ĉi tiu senco alpaŝi potencojn de du. La deksesuma sistemo estas kiel stenografio por duuma - ĉiuj 4 duuma ciferoj simboliĝas per unu deksesuma cifero. En la deksesuma, la ses ciferoj post 9 estas skribataj kiel A, B, C, D, E, F.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Bazo je MathWorld
[1] Arkivigite je 2014-09-11 per la retarkivo Wayback Machine O'Connor, J. J. kaj Robertson, E. F. Babilonaj numeraloj. Trovita la 26-a de aprilo 2005.