Orta matrico

En lineara algebro, orta matrico aŭ ortonormala matrico aŭ perpendikulara matrico estas kvadrata matrico kun reelaj elementoj kies kolumnoj (aŭ linioj) estas perpendikularaj unuaj vektoroj (kaj estas, ortaj vektoroj), tio estas ke pri n×n matricoj:

$\sum _{i=1}^{n}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}$

kaj

$\sum _{i=1}^{n}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}$

por ĉiuj j, k, 1≤j≤n, 1≤k≤n, kie δ_jk estas delto de Kronecker.

Tiel ĝiaj kolumnoj formas ortan bazon de la eŭklida spaco Rⁿ kun la ordinara eŭklida skalara produto.

Ekvivalente, matrico Q estas orta se ĝia transpono estas egala al ĝia inverso:

Q^T=Q⁻¹

aŭ

Q^TQ = QQ^T = I

Tiel orta matrico estas ĉiam normala matrico.

Eblus supozi ke matrico kun perpendikularaj (sed ne nepre ortaj) kolumnoj devus nomiĝi orta matrico, sed ĉi tiaj matricoj ne estas de speciala intereso kaj ne havas specialan nomon; ili nur kontentigas M^TM = D, kie D estas diagonala matrico.

Kiel lineara transformo, ortonormala matrico konservas la skalaran produton de vektoroj:

<Qx, Qy> = <x, y>

ĉar

<Qx, Qy> = (Qx)^TQy = x^TQ^TQy = x^TIy = x^Ty = <x, y>

Kvadrato de longo de vektoro v estas ||v||² = <v, v> = v^Tv , kiu estas egala al ||Qv||² = <Qv, Qv>. Tiel, kiel lineara transformo, orta matrico konservas longojn de vektoroj.

Tiel multipliko je orta matrico agas kiel izometrio de eŭklida spaco, kiel turnado aŭ reflekto. Tiel, ĝi prezentas unitan transformon.

La aro de n×n ortaj matricoj formas grupon O(n), nomatan kiel la perpendikulara grupo. La ĝia subgrupo SO(n) konsistanta de ortaj matricoj kun determinanto +1 estas nomata kiel la speciala perpendikulara grupo, kaj ĉiu el ĝiaj eroj estas speciala orta matrico. Kiel lineara transformo, ĉiu speciala orta matrico agas kiel turnado sed ne kiel reflekto.

Kvankam oni kutime konsideras nur reelan ortonormalajn matricoj, la difino povas esti uzita por matricoj kun elementoj de iu kampo.

Ortonormalaj matricoj aperas nature ĉe ena produtoj, kaj por matricoj de kompleksaj nombroj ĉi tio kondukas al konsidero de unitaj matricoj anstataŭ ortonormalaj.

Ekzemploj

Pli sube estas kelkaj ekzemploj de malgrandaj ortaj matricoj kaj eblaj ekzegezoj.

• Identa transformo

  ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

• Turno je 16.26°

  ${\begin{bmatrix}0,96&-0,28\\0,28&0,96\\\end{bmatrix}}$

• Reflekto tra x-akso

  ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}0&-0.80&-0.60\\0.80&-0.36&\;\;\,0.48\\0.60&\;\;\,0.48&-0.64\end{bmatrix}}$

• ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$

1×1 kaj 2×2 ortaj matricoj

La nuraj 1×1 ortaj matricoj estas la matricoj [1] kaj [-1] kiujn oni povas ekzegezi kiel la idento kaj reflekto de la reela linio tra la fonto.

La 2×2 matricoj havas formon

${\begin{bmatrix}p&t\\q&u\end{bmatrix}}$

kaj orteco postulas kontentigon de tri ekvacioj

p²+q² = 1

t²+u² = 1

pt+qu = 0

En konsidero de la unua ekvacio, sen malprofito de universaleco estu p = cos θ, q = sin θ; tiam aŭ t = -q, u = p aŭ t = q, u = - p. La unua okazo estas turnado je θ (kie θ = 0 estas la idento), kaj la dua estas reflekto tra linio je angulo de θ/2:

• Turnado:

${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

• Reflekto

  ${\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{bmatrix}}$

La reflekto je 45° interŝanĝas x kaj y koordinatojn; ĝi estas permuta matrico, kun sola 1 en ĉiu kolumno kaj linio kaj aliloke 0:

${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

La identa matrico estas ankaŭ permuta matrico.

Reflekto estas ĝia propra inverso, kio signifas ke reflekta matrico estas simetria (egala al sia transpono) kaj ankaŭ orta. La produto de du turnadaj matricoj estas turnada matrico; la produto de du reflektaj matricoj estas turnada matrico.

Primitivaj ortonormalaj matricoj

Ĉiu permuta matrico estas ortonormalaj matrico.

La plej rudimenta permuto estas interŝanĝo, ricevita de la identa matrico per interŝanĝo de du linioj. Ĉiu n×n permuta matrico povas esti konstruita kiel produto de ne pli ol n-1 interŝanĝoj.

Reflekto de Householder estas konstruita surbaze de donita ne-nula vektoro v kiel

$Q=I-2{\frac {1}{{\mathbf {v} }^{T}{\mathbf {v} }}}{\mathbf {v} }{\mathbf {v} }^{T}$

Ĉi tie la vv^T estas simetria matrico kaj en la denominatoro estas nombro, kvadrato de normo de v. Ĉi tiu matrico Q prezentas reflekton en la hiperebeno perpendikulara al v, ŝanĝanta singnon de vektora komponanto paralela al v. Se v estas unuobla vektoro, tiam eblas skribi pli simple Q = I − 2vv^T. Ĉiu n×n orta matrico povas esti konstruita kiel produto de maksimume n ĉi tiaj reflektoj. Reflekto de Householder estas tipe uzata por samtempe nuligi la suban parton de kolumno de iu donita matrico (vidu en artikolo QR faktorigo).

Turnado de Givens agas en du-dimensia (ebena) subspaco generita per du koordinataj aksoj, turnante je elektita angulo. Ĉiu n×n turnada matrico povas esti konstruita kiel produto de maksimume n(n-1)/2 ĉi tiaj turnadoj. Ĉe 3×3 matricoj, tri ĉi tiaj turnadoj sufiĉas; kaj fiksante la vicon de ilia apliko oni povas tial priskribi ĉiun 3×3 turnadan matricon (kvankam ne unike) per la tri anguloj, ofte nomataj kiel eŭleraj anguloj. Ĝi estas tipe uzata por nuligi solan kromdiagonalan suban elementon de iu donita matrico (vidu en artikolo QR faktorigo).

Jakobia turnado havas la saman formon kiel turnado de Givens, sed estas uzita kiel simileca transformo elektita por nuligi ambaŭ kromdiagonalaj elementoj de 2×2 simetria submatrico de iu donita matrico.

Proprecoj

Matricaj proprecoj

La determinanto de ĉiu orta matrico estas +1 aŭ -1. Ĉi tio sekvas de propraĵoj de determinanto:

1 = det(I) = det(Q^TQ) = det(Q^T)det(Q) = (det(Q))²

La reo estas ne vera; tio ke determinanto estas +1 estas ne garantias la ortecon, eĉ kun perpendikularaj kolumnoj, kiel estas montrite per jena kontraŭekzemplo:

${\begin{bmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$

Ĉe permutaj matricoj la determinanto estas +1 por para permuto kaj -1 por nepara permuto.

Ortonormala matrico povas ĉiam estas diagonaligebla matrico, kio estas ke ĝi povzs esti diagonaligita super la kompleksaj nombroj

Ĉe ĉiu orta matrico ĉiu el la ejgenoj estas (eble kompleksa) de modulo 1 (|λ_i|=1 por i=1...n, kio estas ke ĉiuj ejgeno kuŝas sur unuobla cirklo en kompleksa ebeno).

La inverso de ĉiu orta matrico estas denove orta.

La produto de ĉiuj du ortaj matricoj G kaj H estas denove orta ĉar

(GH)(GH)^T = GHH^TG^T = GG^T = I

Grupaj proprecoj

Por ĉiu n, la aro de ĉiuj n×n ortaj matricoj kun matrica multipliko formas grupon O(n), nomatan kial la perpendikulara grupo.

Ĉiuj finidimensiaj linearaj izometrioj - turnadoj, reflektoj, kaj iliaj kombinaĵoj estas prezentataj per ortaj matricoj. La reo estas ankaŭ vera: ortonormalaj matricoj enhavas ĉiujn perpendikularajn transformojn de ĉiu reela finidimensia spaco en sin. Tamen, lineara algebro konsideras ankaŭ perpendikularajn transformojn inter reelaj spacoj kiuj povas esti malfinidimensiaj aŭ de malsamaj dimensioj, kaj ĉi tiuj ne estas prezentataj per ortonormalaj matricoj.

La perpendikularaj grupoj O(n), kune kun ĝiaj subgrupoj, estas larĝe uzataj en matematiko kaj fiziko. Ekzemple, la punkta grupo de molekulo estas subgrupo de O(3). Ĉar ĉe komputoj per flosanta punkto ortaj matricoj havas avantaĝajn proprecojn, ili estas gravaj en multaj algoritmoj de cifereca lineara algebro, kiel ekzemple QR-faktorigo. Kiel la alia ekzemplo, kun konvena normaligo la diskreta kosinusa transformo (uzata ekzemple en JPEG kaj MP3 kunpremoj) estas prezentata per orta matrico.

La perpendikulara grupo O(n) estas kompakta Grupo de Lie de dimensio n(n-1)/2.

La ortaj matricoj kies determinanto estas +1 formas vojkoneksan normalan subgrupon de O(n) de indekso 2, la speciala perpendikulara grupo SO(n) de turnadoj. La kvocienta grupo O(n)/SO(n) estas izomorfia al O(1), kun la projekcia mapo elektanta [+1] aŭ [−1] laŭ la determinanto. Ortonormalaj matricoj kun determinanto -1 ne inkluzivas la identan matricon, kaj do ne formas subgrupon sed nur flankan klason; ĝi estas ankaŭ (aparte) koneksa. Tial ĉiu perpendikulara grupo disfalas en du pecojn; kaj ĉar la projekcia mapo fendas, O(n) estas duonrekta produto de SO(n) kaj O(1).

Konsideru (n+1)×(n+1) ortajn matricojn kun la suba dekstra elemento egala al 1. La resto de la lasta kolumno kaj de la lasta linio devas esti nuloj. La cetera parto de la matrico estas n×n orta matrico.

${\begin{bmatrix}&&&0\\&O(n)&&\vdots \\&&&0\\0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}$

Produto de ĉiuj du ĉi tiaj matricoj havas la saman formon; tial O(n) estas subgrupo de O(n+1) (kaj de ĉiuj pli altaj grupoj).

Simile, SO(n) estas subgrupo de SO(n+1).

Permutaj matricoj estas pli simplaj, ili formas ne grupon de Lie, sed nur finian grupon, la simetrian grupon S_nde ordo n!. Same, S_n estas subgrupo de S_n+1. La paraj permutoj formas la subgrupon de permutaj matricoj kun determinanto +1, la alternan grupon de ordo n!/2.

Kanona formo

La efiko de multipliko je ĉiu orta matrico apartigatas en sendependajn agojn sur perpendikularaj du-dimensiaj subspacoj. Tio estas, se Q estas speciala orta tiam oni povas ĉiam trovi ortonormalan matricon P, donatan ŝanĝon de bazo, kiu transformas Q en blokan diagonalan formon:

se n estas para

$P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{bmatrix}}$

se n estas nepara

$P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&\\&\ddots &&\\&&R_{k}&\\&&&1\end{bmatrix}}$

kie la matricoj R₁, ..., R_k estas 2×2 turnadaj matricoj, kaj la ceteraj elementoj estas nuloj. Escepte, turnado bloko povas esti diagonala, +I aŭ -I. 2×2 reflekto diagonaligatas al matrico enhavanta +1 kaj -1 sur la ĉefdiagonalo kaj 0 aliloke. Tial, ŝanĝante signon de unu kolumno se necesas, ĉiu orta matrico povas esti prezentita en formo

$P^{T}QP={\begin{bmatrix}R_{1}&&&&&&\\&R_{2}&&&&0&\\&&\ddots &&&&\\&&&R_{k}&&&\\&&&&\pm 1&&\\&0&&&&\ddots &\\&&&&&&\pm 1\\\end{bmatrix}}$

La matricoj R₁, ..., R_k donas konjugitajn parojn de ejgenoj kuŝantaj sur la trigonometria cirklo en la kompleksa ebeno. Ĉi tiu malkomponaĵo konfirmas tion ke ĉiuj ejgenoj havas absolutan valoron 1. Se n estas nepara, do estas almenaŭ unu reela ejgeno, +1 aŭ -1; por 3×3 turnado, la ejgenvektoro asociita kun ejgeno +1 estas la turnada akso.

Malkomponaĵoj

Iuj gravaj matricaj malkomponaĵoj engaĝas ortajn matricojn, inter ili:

QR-faktorigo: M = QR, Q ortonormala, R supra triangula.

Singulara valora malkomponaĵo: M = UΣV^T, U kaj V ortaj, Σ nenegativa diagonala.

Ejgena malkomponaĵo (malkomponaĵo laŭ la spektra teoremo): S = QΛQ^T, S simetria, Q orta, Λ diagonala.

Polusa malkomponaĵo: M = QS, Q ortonormala, S simetria nenegative difinita.

Hazardigo

Iuj ciferecaj aplikoj, kiel montekarlaj manieroj kaj esplorado de alte-dimensiaj datumoj spacoj, postulas generadon de uniforme distribuitaj hazardaj ortaj matricoj. En ĉi tiu ĉirkaŭteksto, la uniformeco estas difinita per mezuro de Haar, kiu esence postulas ke la distribuo devas ne ŝanĝiĝi se estas multiplikita per iu libere elektita orta matrico. Ortonormaligo de matricoj kun sendependa uniforme distribuitaj hazardaj elementoj ne rezultas je uniforme distribuitaj ortaj matricoj, sed la QR-faktorigo de matricoj kun sendependaj normale distribuitaj hazardaj elementoj faras ĉi tion, se la diagonalo de R enhavas nur pozitivajn elementojn. Pli kompetenta estas la "subgrupa algoritmo" (en kiu formo ĝi laboras same bone por permutoj kaj turnadoj). Por generi (n+1)×(n+1) ortan matricon, prenu n×n ĉi tian matricon kaj uniforme distribuitan unuoblan vektoron de dimensio n+1. Konstruu reflekton de Householder de la vektoro, tiam apliku ĝin al la pli malgrandan matricon kun aldonita 1 en la dekstra malsupra angulo.

Nekvadrataj matricoj

Se Q estas ne kvadrata matrico, tiam la kondiĉoj Q^TQ = I kaj QQ^T = I estas ne ekvivalentaj. La kondiĉo Q^TQ = I statas ke la kolumnoj de Q estas ortaj. Ĉi tio povas nur okazi se Q estas m×n matrico kun n≤m. Simile, QQ^T = I statas ke la linioj de Q estas orta, kiu postulas ke n≥m.

Ne estas ne normaj nomoj por ĉi tiuj matricoj. Ili estas iam nomataj kiel "ortaj matricoj", iam kiel "perpendikularaj matricoj", kaj iam simple kiel "matricoj kun ortaj kolumnoj/linioj".

Vidu ankaŭ

• Perpendikulara grupo
• Koordinata turnado
• Unita matrico
• Kunplektita matrico
• Simetria matrico, matrico kies transpono estas egala al ĝi
• Kontraŭsimetria matrico, matrico kies transpono estas egala al ĝia negativo

Eksteraj ligiloj

• Dubrulle, Augustin A. (1999). An Optimum Iteration for the Matrix Polar Decomposition - Optimuma ripeto por la matrica polusa malkomponigado. Elect. Trans. Num. Anal. 8 21–25.
• Higham, Nicholas (1986). Computing the Polar Decomposition - with Applications - Komputado de la polusa malkomponaĵo - kun Aplikoj. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 7 (4) 1160–1174. COI:10.1137/0907079. ISSN 0196-5204.
• Higham, Nicholas; Schreiber, Robert (Julio 1990). Fast polar decomposition of an arbitrary matrix - Rapida polusa malkomponigado de ajna matrico. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 11 (4) 648–655. COI:10.1137/0911038. ISSN 0196-5204. [1] Arkivigite je 2005-10-16 per la retarkivo Wayback Machine
• Stewart, G. W. (1980). The Efficient Generation of Random Orthogonal Matrices with an Application to Condition Estimators - La kompetenta generado de hazardaj perpendikularaj matricoj kun apliko al kondiĉaj proksimumiloj. SIAM J. Numer. Anal. 17 (3) 403–409. COI:10.1137/0717034. ISSN 0036-1429.
• [2], Paul Dawkins, Lamar Universitato, 2008. Teoremo 3(c)