Teoremo de Pitagoro

En matematiko, la Teoremo de Pitagoro estas la rilato inter la tri lateroj de orta triangulo. La teoremo estas nomita tiel laŭ la nomo de la antikva Greka matematikisto Pitagoro, unu el pluraj antikvuloj kiuj malkovris ĝin.

La teoremo estas kiel sube:

En ĉiu ajn orta triangulo, la areo de la kvadrato kun lateroj kies longo egalas al la longo de la hipotenuzo de tiu triangulo (la latero de orta triangulo situanta kontraŭ la orta angulo) estas egala al la sumo de la areoj de la du kvadratoj kun lateroj kies longoj egalas respektive al la longo de la du katetoj (la du lateroj de la orta triangulo kiuj ne estas la hipotenuzo).

Se c estas la longo de la hipotenuzo kaj ankaŭ a kaj b estas la longoj de la du aliaj lateroj (tio estas, la katetoj), la teoremo povas esti skribita kiel sube:

a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,

Tiele ĝi povas esti esprimita kiel ekvacio nome Pitagora Ekvacio.^[1]

La teoremo estas teoria esprimo de la arto disvolvita de hindaj, babilonaj kaj egiptaj konstruistoj kaj sacerdotoj por atingi precize ortajn angulojn por kampoj aŭ konstruaĵoj helpe de ŝnuroj. Jam malgranda eraro povas esti katastrofa rezulto por grandaj konstruaĵoj. Pri piramidokonstruaĵoj kun 200-metraj flankoj, konstruistoj ne rajtis erari eĉ ne minimume.

Historio

Ŝnurstreĉistoj

Por atingi la mirindan precizecon de siaj konstruaĵoj la egipta sacerdotaro havis apartan korporacion, la tiel nomataj "harpedonaptoj", t.e. ŝnurstreĉistoj. Pere de dekdunodaj ŝnuroj la ŝnurstreĉistoj atingis ekzakte ortajn angulojn, dividante dekdu samlongajn erojn de ŝnurego per nodoj je la rilato 5:3:4 kaj kreante per tiu ŝnuro kaj helpe de fostetoj triangulon - tiamaniere kreiĝas ĉiam kaj nur orta angulo (pitagora triopo). Tiun metodon uzis la ŝnurstreĉistoj ankaŭ kiam post la retrofluo de la Nilo necesis mezuri denove la kampojn. Ankaŭ la hindaj sacerdotoj difinis ortajn angulojn, ekzemple por konstrui altarojn, laŭ la sama metodo, sed disdividis siajn triangulojn je la proporcio 39:15:36. Ĉar la teoremo validas ankaŭ en la alia senco, a kaj b ĉirkaŭas la ortan angulon, se la ŝnurlongecoj plenumas la ekvacion $a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,$ Fakte ambaŭ solvoj ĝustas: $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ (egipta) aŭ $15^{2}+36^{2}=39^{2}$ (hinda). Tiel la praktika kono de la babilonoj, hindoj kaj egiptoj ricevis ĝeneralan matematikan esprimon per la teoremo de Pitagoro.

Pitagoro - serĉo pri mondoharmonio

La plej malnovaj matematikaj desegnaĵoj de pitagoraj triopoj kaj eĉ de ilia kvadrateco troviĝas sur babilonaj argilotabuletoj de la epoko de Hamurabi (1829 ĝis 1530 a.K.). La bazo de la teoremo estis do konata longe antaŭ la naskiĝo de la greka matematikisto kaj filozofo Pitagoro el Samoso.^[1] Eŭklido nomis la teoremon laŭ Pitagoro, kiu kolektis en sia fama verko erojn de la matematika scienco de sia epoko. Oni konsideras ke ĉiukaze Pitagoro mem estis la unua kiu pruvis matematike la teoremon.^[2]^[3]^[4] Sed Pitagoro mem, kiu ŝajne vivis multajn jarojn en Egiptio, malkovris denove tiun teoremon ĉirkaŭ 540 a.K. kaj ĝeneraligis ĝin al la abstrakta formulo $a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,$

Estas ja vere ke ekzemple la plej malnova konata aritmetiklibro de la mondo, la egipta kalkullibro de Ahmes (nomita ankaŭ papiruso de Rhind) el la 17-a jarcento a.K., jam enhavis malfacilajn taskojn, sed mankis ĉiaj ĝeneraligo, regulo aŭ difino. Ĉe Pitagoro la praktiko iĝis scienco. Kiel priskribis la novplatonisto Proklo ĉirkaŭ la jaro 470:

... Pitagoro transformis la okupadon pri tiu sciencobranĉo al vera scienco, observante la bazon el plej alta vidpunkto kaj esplorante la teoremojn pli nematerie kaj pli intelekte.

Por la pitagoranoj ne matematiko, tiel kiel ni uzas la terminon hodiaŭ, estis la grava afero. Matematiko estis parto de la filozofio kiel en la tradicio de la antaŭ-sokratanoj Taleso el Mileto (greka Malgrand-Azio, en la hodiaŭa Turkio) kaj Anaksimandro; kiel ili, ankaŭ la pitagoranoj esperis per matematikaj rilatoj kaj formuloj trovi kaj bildigi la enan harmonion de la mondo kaj ties kunligan elementon.

Ĉinio

Ankaŭ en Ĉinio la teoremo estis jam delonge konata. Ĝia ĉina nomo estas gou-gou. En la verko Chou pei suan ching (ĉirkaŭ 300 a.K.) troviĝas fama desegnaĵo nomita hsuan-shu, kiu montras grafikan konfirmon per ekzemplo de triangulo kun la flankoj 3, 4 kaj 5. Ankaŭ en la verko Chiu chang suan shu (Naŭ ĉapitroj pri matematikarto, 3-a jarcento a.K.), klasika ĉina matematika verko kun aro de 263 klarigoj pri solvoj de taskoj, ĝi troviĝas. Je la 3-a jarcento p.K. Liu Hiu montras en sia komentario pri la naŭ ĉapitroj Jiuchang suanshu analizan pruvon.

Pruvoj

Ekzistas multaj diversaj pruvoj por la teoremo de Pitagoro. La libro Pythagorean Proposition (Pitagora Propozicio) de Elisha Scott Loomis enhavas 367 pruvojn.

Kelkaj argumentoj bazitaj sur trigonometriaj formuloj estis proponitaj kiel pruvoj por la teoremo. Tamen, ĉar tiuj trigonometriaj formuloj mem estas pruvitaj uzante la teoremon de Pitagoro, oni ne povas konsideri tiujn argumentojn kiel pruvojn de la teoremo de Pitagoro.

Geometria pruvo per rearanĝo

La diagramo montras pruvon por la teoremo: Oni metas kvar egalajn ortajn triangulojn kun la lateroj $a$ , $b$ kaj $c$ (la hipotenuzo) en kvadraton kun laterlongo $a+b$ . Eblas fari tion per du manieroj: Unufoje la nekovrita parto estas kvadrato kun laterlongo $c$ , alifoje la nekovrita parto estas du kvadratoj kun laterlongoj $a$ kaj $b$ . Do la areo $c^{2}$ egalas al la sumo de la areoj $a^{2}$ kaj $b^{2}$ , do $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Algebra versio de la pruvo: Por la algebra versio de ĉi tiu pruvo, oni bezonas rigardi nur la maldekstran diagramon. La tuta kvadrato havas la laterlongon $a+b$ , kaj tial la areon $(a+b)^{2}$ . Sed ĝia areo ankaŭ estas la sumo de la areo $c^{2}$ kaj la areoj de la kvar trianguloj, el kiuj ĉiu havas la areon ab/2. Do $(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$ . Kiam oni solvas la krampojn, oni ricevas $a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$ . Se oni nun subtrahas 2ab de ĉiu flanko, oni ricevas la teoremon de Pitagoro.

Ambaŭ versioj de ĉi tiu pruvo estas facile kompreneblaj. Sed se oni volas pruvi la teoremon nur uzante la Eŭklidajn aksiomojn de geometrio, ĉi tiu pruvo ne sufiĉas: Oni devas aldone pruvi ke la areo de la kvadrato egalas al la sumo de la areoj de ĝiaj eroj. Pruvi tion surbaze de la aksiomoj de geometrio estas pli komplike ol uzi alian pruvon por la teoremo de Pitagoro, pro kio ĉi tiu pruvo kutime ne estas uzata en aksiomaj enkondukoj al la geometrio.

Pruvo per simileco

Ne necesas paroli pri areoj kiam oni pruvas la teoremon de Pitagoro. Anstataŭe oni ekzemple povas uzi jenan pruvon, kiu baziĝas sur simileco de trianguloj: Per kalkulo de la angulsumoj en la trianguloj, oni povas pruvi ke la verdaj anguloj en la dekstra diagramo estas same grandaj. Tial la anguloj ACB, CBD kaj ACD estas similaj. La teoremo de Pitagoro sekvas kiel montrite en la diagramo.

En kulturo

La hungara verkisto Sándor Szathmári kreas humoran historion en sia novelo Pythagoras, kolektita ekzemple en sia kolekto Perfekta Civitano. Laŭ ĝi Pitagoro antaŭ la tirano Korpulentos malakceptas retiri el sia fama teoremo eĉ nur unu kateton. La gravuloj de la urbo kontraŭas. Li iros al ekzilo al Metapontio kie ankaŭ oni klopodos retiron de la teoremo. Pythagoras kun sia disĉiplo Eŭristhetos fuĝas al malamika Syrakusai, kies estro Gelon ordonos devige kaj perforte akcepti la tezon, ĉar li atentas nur pri la obeo al la ordono. En Sardeso ankaŭ Artaphrenes prifajfas la teoremon. En Ateno oni klopodas elpreni tezon el la teoremo, kaj oni konsideras ĝin ia tiraneco, parte pesimisma, ĉar ne permesas futuran triangulon eksterteza. Post ĉio tio ili ekziliĝas ĉe malamikaj persoj kaj Eŭristhetos komplotis ke la teoremo iĝu simbolo de konkeritaj urboj kaj poste de la ribelo de grekoj eĉ ĉe Maratono.^[5]

Vidu ankaŭ

Referencoj

↑ ^1,0 ^1,1 Judith D. Sally, Paul Sally. (2007) “Chapter 3: Pythagorean triples”, Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore, p. 63. ISBN 0-8218-4403-2.^{[rompita ligilo]}
↑ George Johnston Allman. (1889) Greek Geometry from Thales to Euclid, 2005‑a eldono, Hodges, Figgis, & Co, p. 26. ISBN 1-4326-0662-X. “The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by – amongst others – Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch ...”.
↑ (Heath 1921, Vol I, p. 144)
↑ According to Heath 1921, Vol I, p. 147, Vitruvius says that Pythagoras first discovered the triangle (3,4,5); the fact that the latter is right-angled led to the theorem.
↑ Sándor Szathmári, Perfekta Civitano, Budapesto, 1988. Paĝoj 150-175.

Literaturo

Bell, John L.. (1999) The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0.
Euclid. (1956) Translated by Johan Ludvig Heiberg with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath: The Elements (3 vols.), 1908‑a eldono Vol. 1 (Books I and II), Dover. ISBN 0-486-60088-2. On-line text at Euclid
Heath, Sir Thomas. (1921) “The 'Theorem of Pythagoras'”, A History of Greek Mathematics (2 Vols.), 1981‑a eldono, Clarendon Press, Oxford, p. 144 ff. ISBN 0-486-24073-8.
Libeskind, Shlomo. (2008) Euclidean and transformational geometry: a deductive inquiry. Jones & Bartlett Learning. ISBN 0-7637-4366-6. This high-school geometry text covers many of the topics in this WP article.
Loomis, Elisha Scott. (1968) The Pythagorean proposition, 2‑a eldono, The National Council of Teachers of Mathematics. ISBN 978-0-87353-036-1. For full text of 2nd edition of 1940, see Elisha Scott Loomis. The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs. Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Alirita 2010-05-04 . Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics, isbn=0-87353-036-5.
Maor, Eli. (2007) The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12526-8.
Stillwell, John. (1989) Mathematics and Its History. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96981-0. Also ISBN 3-540-96981-0.
Swetz, Frank. (1977) Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China. Pennsylvania State University Press. ISBN 0-271-01238-2.