e (matematiko)

La figuro montras tri eksponentajn funkciojn ĉe malsamaj bazoj. La eksponenta funkcio, kies bazo estas e, indikita per bluo, estas la ununura eksponenta funkcio al kiu la inklino de la tanĝanto (rekto indikita per ruĝa) ĉe la punkto x = 0 estas 1.

La matematika konstanto e estas la bazo de la funkcio de natura logaritmo.

Jen e al la dudek-naŭa decimala cifero. e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 7135…

La nomo e venas de la fama matematikisto Leonhard Euler je 1727, do foje oni nomas ĝin la nombro de Euler, sed la uzo de la litero e por la nomo de tiu ĉi konstanto ankaŭ povas esti ekspliciita kiel la unua litero de la termino Eksponento. Ankaŭ ĝi foje nomiĝas la konstanto de Napier – laŭ la skota matematikisto John Napier, kiu enplektis logaritmojn je 1618.

La nombro e estas malsama de konstanto de Eŭlero-Mascheroni γ ≈ 0,5772….

Listo de nombroj – Neracionalaj nombroj ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ
En duuma sistemo	10.10110111111000010101...
En dekuma sistemo	2.7182818284590452354...
En deksesuma sistemo	2.B7E151628AED2A6B...
kiel senfina frakcio	$2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$ Rimarku, ke tiu senfina frakcio ne estas perioda.

Difinoj

La plej komunaj difinoj de e estas:

1. Difini e-on kiel limeson.
   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$
2. Difini e-on kiel sumon de konverĝa serio.
   $e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$
   kie n! estas la faktorialo de n.
3. Difini e-on kiel la unikan reelan numeron x > 0 tian, ke
   $\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.$
4. Difini e-on kiel la unikan reelan numeron x > 0 tian, ke
   ${\frac {d}{dt}}x^{t}={x^{t}}$

Ĉiuj ĉi tiuj malsamaj difinoj pruvas la karakteron de eksponenta funkcio.

Motivo, kalkulo kaj alproksimado

La unua referenco al tiu ĉi nombro kiel konstanto estis de Jakob Bernoulli je 1683 studante demandon pri kunmetita interezo, kiu postulis lin trovi la valoron de la esprimo limesa $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$.

La konstanto e povas esti difinita per pluraj manieroj, kiuj estas ekvivalentaj unu la alian. Unu el tiuj difinoj estas ke la konstanto e priskribas la kreskon de deponante monsumon kun interezo de 100% jare je la fino de la jaro, se la banko estus kalkulanta la interezajn sumojn ŝuldatajn al la deponanto en ĉiu momento kaj deponis ilin tuj sub la samaj kondiĉoj. Ĉar procezoj en naturo obeas leĝojn tempdaŭrajn de konduto, la konstanto aperas kiel si mem en la priskribo de multaj naturaj fenomenoj, en kiuj estas kontinua ŝanĝo, kiel la fenomeno de la viveco kaj kreskeco, kaj ankaŭ en interesaj kalkuloj.

Ekzemplo, estas konto kiu komenciĝas per depono de $ 1,00 kaj pagas 100-procentan intereson jare. Se la intereso estas kreditita unufoje, fine de la jaro, la valoro estas $ 2.00; sed se la intereso estas kalkulita kaj aldonita dufoje en la jaro, la $ 1 estas multobligita per 1,5 dufoje, donante $ 1,00 × 1,5² = $ 2,25. Kunmetanta kvaronjare donas $ 1.00 × 1.254 = $ 2.4414 ..., kaj kunmetanta monate donas $ 1.00 × (1.0833 ...) 12 = $ 2.613035 ...

Bernoulli rimarkis, ke ĉi tiu sinsekvo alproksimiĝas al limo (la forto de intereso) por pli kaj pli malgrandaj kunmetitaj intervaloj. Uzante n kiel la nombron de kunmetaj intervaloj, kun intereso de 100% / n en ĉiu intervalo, la limo por granda n estas la nombro, kiun Euler poste nomis e; kun kontinua kunmetado, la konto valoro atingos $ 2,7182818 ... Pli ĝenerale, konto, kiu komenciĝas je $ 1, kaj donas (1 + R) dolarojn ĉe Kunmetita intereso, donos e^R dolarojn per kontinua kunmetado.

Unuaj ciferoj

Unuaj 500 ciferoj: Е = 2, 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 ...