Cikloido

Cikloido (ruĝa) generita per ruliĝanta cirklo

En geometrio, cikloido estas la kurbo difinita per fiksa punkto sur ruliĝanta rado, aŭ, pli detale, la loko de punktoj sur la radrondo de cirklo ruliĝanta laŭ rekto.

Difino

Grafikaĵo de cikloido generita per cirklo de radiuso r=2

Konsideru Eŭklidan ebenon $\mathbb {R} ^{2}$ kun karteziaj koordinatoj $(x,y)$. La cikloido desegnita de rado de radiuso $r$ konsistas el la jenaj punktoj:

$x=r(t-\sin t)$

$y=r(t-\cos t)$

En la ĉi-supraj ekvacioj, la reela $t\in \mathbb {R}$ estas parametro, kiu mezuras la angulon (en radianoj), kiom ruliĝas la rado. Se la angula rapido estas unu radiono en unita tempo, do $t$ estas interpretebla kiel tempo. Ekvivalente, $rt$ estas la situo de la centro de la rado.

Se vidita kiel funkcio y(x), la cikloido estas glata (senfine derivebla) funkcio ĉie, krom ĉe la specialaĵoj, kie ĝi frapas la x-akson; la inklino je la specialaĵoj estas malfinia. Ĝi kontentigas la diferencialan ekvacion

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}$

Propraĵoj

La supra parto suben de la cikloido estas la solvaĵo al la problemo _brachistochrone_ (kio estas, ke ĝi estas la kurbo de la plej rapida descendo sub gravito) kaj la rilatanta problemo _tautochrone_ (kio estas la (periodo, punkto) de pilko ruliĝanta tien kaj reen (ene ĝi ne dependi sur la startanta pozicio de la pilko).

Historio

La cikloidon la unua studis Nikolao de Cusa kaj poste Mersenne. Ĝi estis nomita fare de Galileo en (1599, Kategorio:1599). En 1634 G.P. de Roberval montris, ke la areo sub cikloido estas trioble la areo de la ĝin generanta cirklo. En 1658 Christopher Parvolo montris, ke la longo de cikloido estas kvaroble la diametro de la ĝin generanta cirklo.

La cikloidon iuj nomas "La Heleno de Geometriistoj", ĉar ĝi kaŭzis oftajn disputojn inter matematikistoj dum la 17-a jarcento.

Rilataj kurboj

Kelkaj kurboj rilatas al la cikloido. Kiam ni malstreĉigas la kriterion, ke la fiksa punkto estu sur la radrondo de la cirklo, ni ricevas la mallongigitan cikloidon kaj la longigitan cikloidon. En la antaŭa okazo la punkto spuranta ekster la kurbo estas ene de la cirklo kaj en la lasta kazo ĝi estas ekster. Troĥoido signifas ian ajn cikloidon, mallongigitan cikloidon aŭ longigitan cikloidon. Se ni plue permesas la linion sur kiu la cirklo ruliĝas esti ajna cirklo (rekto estas cirklo de malfinia radiuso) tiam ni ricevas la epicikloidon (cirklo ruliĝanta sur la ekstero de alia cirklo, punkto sur la radrondo de la rulanta cirklo), la hipocikloido (cirklo sur la ena flanko, punkto sur la radrondo), la epitroĥoido (cirklo sur la ekstero, punkto ie sur cirklo), kaj la hipotroĥoido (cirklo sur la ena flanko, punkto ie sur cirklo).

Ĉiuj ĉi tiuj kurboj estas ruletoj kun cirklo rulita laŭ uniforma kurbeco. La cikloido, epicikloidoj, kaj hipocikloidoj havas la propraĵon, ke ĉiu estas simila al ĝia evoluto. Se q estas la produto de tiu kurbeco kun la cirkla radiuso, signita pozitiva por epi- kaj negativa por hipo-, tiam la kurbo: evoluto homotetia rilatumo estas 1+2q.

Eksteraj ligiloj

• [1] Apliko de fiziko: Ghatak, A. & Mahadevan, L. (Klaki, Kraki) strato: la aikloida veko de cilindro ŝiranta tra folio. Fizika Revuo Leteroj, 91, (2003).
• Eric W. Weisstein, Cycloid en MathWorld.
• Cikloidoj je tranĉi-la-nodon
• A Traktato sur La Cikloido kaj ĉiuj formoj de Cicloidaj Kurboj, monografio fare de Richard A. Proctor, B.A. afiŝita per Cornell Universitata Biblioteko.