Egalŝtupa agordo

Ĉe la egalŝtupa agordo oni egaligas la pitagoran komon kaj subdividas la okton en dekdu duontono-paŝojn de la frekvencproporcio

${\frac {f_{2}}{f_{1}}}={\sqrt[{12}]{\frac {2}{1}}}\approx 1{,}05946309$

La gamo, kiu uzas tian agordon, nomatas temperita gamo.

Tiamaniere agordita instrumento enhavas, escepte de la oktoj, neniun puran (t.e. agorditan laŭ entjera frekvencproporcio) intervalon, kaj la deviadoj estas nepre aŭdeblaj. Nuntempe oni ĝenerale perceptas tiujn deviojn kiel akcepteblaj (pro alkutimiĝo).

La divido de la okto en dek du tonojn kun sama frekvencproporcio al siaj najbaraj tonoj ja estas la plej uzata, tamen ne la ununura ebleco alproksimiĝi al la puraj intervaloj. Per pli tonoj pro okto oni atingas pli bonajn alproksimadojn. Fakte okazis subdivido en egalŝtupe agorditan deknaŭŝtupa tonsistemo.

Historio

Geometria ilustrado de la egalŝtupa agordo el Sopplimenti musicali (1588) de Gioseffo Zarlino

La egalŝtupan agordon kiel unua povis kalkuli sufiĉe ekzakte en 1584 Chu Tsai-yü ( 朱載堉 ) en Ĉinio helpe de sistemo de naŭciferaj nombroj. En Eŭropo tamen tiuj ĉi kalkuladoj iĝis konataj nur en 1799, sen ke oni menciis laŭnome Chu Tsai-yü. En 1588 Gioseffo Zarlino proponis ekzaktan geometrian priskribon. Simon Stevin kiel unua eŭropano priskribis en Van de Spiegheling der Singconst (manskribaĵo ĉ. aŭ antaŭ 1600) vastan alproksimiĝon helpe de procedo por radikokalkulado, tamen mise pensis garantii per tio naturajn grandajn tritojn.

Egalŝtupe nomataj liutagordoj de la 16-a jarcento baziĝis, kiel praktikate de Vincenzo Galilei, plejparte sur duontono kun la proporcio 18:17 (ĉ. 99 Cendojn).

Precipe en la 17-a jarcento ne nur teoriistoj kiel Pietro Mengoli kaj Marin Mersenne, sed ankaŭ komponistoj, instrumentkonstruistoj kaj muzikistoj diskutis pri la egalŝtupa agordo. Tion ekz. pruvas disputo pri agordoj inter Giovanni Artusi kaj Claudio Monteverdi mallonge post 1600. Girolamo Frescobaldi rekomendis la egalŝtupan agordon por la orgeno en la baziliko S. Lorenzo en Damaso.

En la germanlingvaj regionoj oni ankaŭ uzis anstataŭ egalŝtupa la nocion egalŝveba, ekz. Andreas Werckmeister 1707 en Musikalische Paradoxal-Discourse: „ ... se la temperado estas aranĝata tiel, ke ĉiuj kvintoj ŝvebas 1/12 komon ... kaj akurata aŭdado povas realigi kaj agordi ĉi tiun/tiam certe troviĝas bontemperita harmonio tra la tuta cirklo kaj tra ĉiuj klavoj.“ Werckmeister nepre ne opinias per tio, ke la ŝvebofrekvencojn egalas. La malfacilaĵon alparolatan de li, agordi egalŝtupe, ekz. pianagordistoj precize povas majstri per tio, ke li konas la diferencajn ŝvebofrekvencojn de la kvintoj en la diference altaj pozicioj de la piano kaj uzas por la agordado.

La nocio egalŝveba ankaŭ povas koncerni pluan apartaĵon de ĉi tiu agordo: La suprokvinto de tono kaj la subkvinto de ĝia okto ĉiam ŝvebas samrapide.

La praktika graveco restis bagatela ĝis en la 18-a jarcento, tamen pliiĝis la konsentantoj de la egalŝtupa agordo, inter ili Jean-Philippe Rameau kaj Friedrich Wilhelm Marpurg. Ĝisfine de la 18-a jarcento ĝi gajnis superecon kontraŭ malegalŝtupaj agordoj kaj en la 19-a jarcento ĝi finfine venkis.

Per tio tamen la tonalkarakteroj por novaj komponaĵoj perdis gravecon, ĉar diferencaj tonaloj ĉirilate ne plu sonis diferencaj. Je la prezentado de malnovaj verkoj sur egalŝtupe agorditaj instrumentoj pro la sama kaŭzo perdiĝas ofte gravak artaj aspektoj de la komponaĵo, ekz. ĉar fruaj komponistoj ŝatis apliki malbone sonantajn „maleblajn“ tonalojn, por fari per-sone traviveblaj negativaĵojn kiel doloro kaj peko.

Nuntempe oni agordas instrumentojn kun fiksajn tonaltojn kiel la piano aŭ gitaro laŭnorme egalŝtupaj, sed multajn orgenojn kaj klavicenojn historieme per aliaj, malegalŝtupaj agordoj.

Mishaqah

Araba muzikteoriulo Mishaqah egalŝtupigis la tradician araban duoktan gamon kaj dividis ĉiun okton en dudek kvar tonintervalojn. Tiu do havas duoble pli da tonoj ol la eŭropa de Werckmeister kaj diferenco de 50 cendojn inter sinsekvaj tonoj.

Frekvenckalkulado

La matematika instrukcio por difini la tonon sur la tuta gamo de la egalŝtupa agordo estas

$f(i)=f_{0}\cdot 2^{i/12}\,$,

je kio f₀ povas esti ekz. la frekvenco de la ĉambrotono a’ (440 Hz). i estas la duontona distanco al la elektita tono kun dle frekvenco f₀. Tian matematikan vicon oni nomas geometria vico.

Se oni volas difini la frekvencon de la tono g’, oni nombras ĝian duontonpaŝan distancon de la ĉambrotono a’ (i = minus 2, ĉar oni nombras malsupren), kaj enmetas la valorojn en la egalaĵon:

$f(-2)=440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{-2/12}\approx 391{,}995\,\mathrm {Hz} \,$

por la tono g’’ oni ricevas analoge duontonan distancon al f₀ de i = 10:

$f(10)=440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{10/12}\approx 783{,}991\,\mathrm {Hz} \,$

Kiel vidate, g’’ havas la duoblan frekvencon de g’ – pro tio ĝi sonas tiel konsonanca, se oni ekludas du samnomajn tonojn, kio ankaŭ klarigas unu ĉefan econ de la egalŝtupa agordo. Aliaj avantaĝo estas, ke oni povas transponi ĉiun pecon (do ekz. transloki ĉiujn tonojn ekde la origina F# maĵora al C maĵora), sen ke en la peco por ordinara aŭskultanto io ajn karakterize ŝanĝas (escepte homojn kun absoluta sonsento).

Cendvaloroj de la egalŝtupa agordo

Tono	C	C#/D♭	D	D#/E♭	E	F	F#/G♭	G	G#/A♭	A	A#/B♭	B	C
	do	do#/re♭	re	re#/mi♭	mi	fa	fa#/sol♭	sol	sol#/la♭	la	la#/si♭	si	do
Cendvaloro	0	100	200	300	400	500	600	700	800	900	1000	1100	1200

Ĉi-sekva tabelo montras la valorojn de ĉiuj intervaloj, en egalŝtupa kaj pura agordoj samkiel la diferenco de unu al alia en Cendoj:

Intervalo	Egalŝtupe temperita intervalo	Pura intervalo	Diferenco en Cendoj
Unuto	${\sqrt[{12}]{2^{0}}}=1=0\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {1}{1}}=1=0\,\mathrm {Cent}$	0 Cendo
Malgranda duto	${\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\approx 1{,}059463=100\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {16}{15}}\approx 1{,}066667\approx 111{,}73\,\mathrm {Cent}$	-11,73 Cendoj
Granda duto	${\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\approx 1{,}122462=200\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {9}{8}}=1{,}125\approx 203{,}91\,\mathrm {Cent}$	-3,91 Cendoj
Malgranda trito	${\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\approx 1{,}189207=300\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {6}{5}}=1{,}2\approx 315{,}64\,\mathrm {Cent}$	-15,64 Cendoj
Granda trito	${\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}259921=400\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {5}{4}}=1{,}25\approx 386{,}31\,\mathrm {Cent}$	13,69 Cendoj
Kvarto	${\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\approx 1{,}334840=500\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {4}{3}}\approx 1{,}333333\approx 498{,}04\,\mathrm {Cent}$	1,96 Cendoj
Aŭgemtita kvarto *	${\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\approx 1{,}414214=600\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {45}{32}}=1{,}40625\approx 590{,}22\,\mathrm {Cent}$	9,78 Cendoj
kvinto	${\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\approx 1{,}498307=700\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {3}{2}}=1{,}5\approx 701{,}96\,\mathrm {Cent}$	-1,96 Cendoj
Malgranda sesto	${\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\approx 1{,}587401=800\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {8}{5}}=1{,}6\approx 813{,}69\,\mathrm {Cent}$	-13,69 Cendoj
Granda sesto	${\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\approx 1{,}681793=900\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {5}{3}}\approx 1{,}666667\approx 884{,}36\,\mathrm {Cent}$	15,64 Cendoj
Malgranda septo	${\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\approx 1{,}781797=1000\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {16}{9}}\approx 1{,}777778\approx 996{,}09\,\mathrm {Cent}$	3,91 Cendoj
Granda septo	${\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\approx 1{,}887749=1100\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {15}{8}}=1{,}875\approx 1088{,}27\,\mathrm {Cent}$	11,73 Cendoj
Okto	${\sqrt[{12}]{2^{12}}}=2=1200\,\mathrm {Cent}$	${\tfrac {2}{1}}=2=1200\,\mathrm {Cent}$	0 Cent
Rimarkoj: aŭgmentita kvarto, foje nomata tritono, difinita kiel: granda trito (5/4) plus granda duto (9/8). Tio samsignifas kun: kvinto (3/2) minus diatona duontono (16/15). Se la diferenco estas negativa, la samtemperita intervalo estas pli malvasta ol la pura.

Vidu ankaŭ

• Agordo
• Cendo
• Oktavo

Literaturo

• Mark Lindley: Stimmung und Temperatur, in Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie, Bd. 6. Hören Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit, S. 109-332, Darmstadt 1987