Elementoj de Eŭklido

Elementoj de Geometrio estas matematika verko de Eŭklido, konsistanta el 13 libroj. Ĝi temas pri diversaj matematikaj kampoj: Surfaca kaj solida geometrio, nombroteorio, proporcioj, k.t.p.

Ĉi tiu libro siatempe estis tre grava paŝo antaŭen en la historio de matematiko, ĉar ĝi rigore pruvis matematikajn asertojn surbaze de malmultaj postulatoj, kaj tiel estis la bazo por la moderna koncepto de matematika pruvo.

Speciale, la 5-a postulato aperigis gravajn diskutojn inter matematikistoj pri ĝia neceseco; tiuj diskutoj daŭris ĝis la tempo de Carl Friedrich Gauss.

La verko de Eŭklido komencas en la unua libro kun serio de definoj, postulatoj kaj komunaj nocioj. Jen:

Difinoj

1. Punkto estas tio kio ne havas partojn.

2. Linio estas longitudo sen larĝo.

3. La ekstremoj de linio estas punktoj.

4. Rekta linio estas tia linio, kiu same kuŝas de la punktoj estantaj en si.

5. Surfaco estas tio kio nur havas longitudon kaj larĝon.

6. La ekstremoj de surfaco estas linioj.

7. Ebena surfaco estas tia surfaco, kiu same kuŝas de la linioj estantaj en si.

8. Ebena angulo estas la reciproka klino de du linioj kiuj troviĝas en ebeno kaj ne estas en rekta linio.

9. Kiam la linioj, kiuj entenas la angulon, estas rektaj; la angulo tiam nomiĝas rektalinian angulon.

10. Kiam rekto starigita sur alia rekto formas egalajn apudajn angulojn, tiam ĉiu egala angulo estas rekta kaj la starigita rekto nomiĝas perpendiklan de tiu sur kiu ĝi estas.

11. Malakuta angulo estas la angulo kiu estas pli granda ol rekta angulo.

12. Akuta angulo estas la angulo kiu estas malpli granda ol rekta angulo.

13. Limo estas tio, kio estas ekstremo de io.

14. Figuro estas la enhavito de unu aŭ pluraj limoj.

15. Cirklo estas ebena figuro entenita de unu linio [kiu nomiĝas cirkonferenco] tia ke ĉiuj rektoj, falantaj sur ĝi ekde unu punkto de la punktoj estantaj interne de la figuro, estas reciproke egalaj.

16. Kaj la punkto nomiĝas centro de la cirklo.

17. Diametro de cirklo estas iu ajn rekto strekata tra la centro de la cirklo, ĉi tiu rekto ankaŭ dividas la cirklon laŭ du egalaj partoj.

18. Duoncirklo estas la figuro entenita inter la diametro kaj la cirkonferenco sekcata de ĝi. Kaj la centro de la duoncirklo estas la sama centro de la cirklo.

19. Rektaliniaj figuroj estas tiuj entenitaj de rektoj, trilateraj estas tiuj entenitaj de tri, kvarlateraj estas tiuj entenitaj de kvar, multlateraj estas tiuj entenitaj de pli rektoj ol kvar rektoj.

20. El la trilateraj figuroj, egallatera triangulo estas tiu kiu havas la tri laterojn egalajn, izocela estas tiu kiu havas nur du laterojn egalajn, skalena estas tiu kiu havas la tri laterojn malegalajn.

21. Krome, el la trilateraj figuroj, rektangula triangulo estas tiu kiu havas unu rektan angulon, malakutangula estas tiu kiu havas unu malakutan angulon, akutangula estas tiu kiu havas la tri angulojn akutaj.

22. El la kvarlateraj figuroj, kvadrato estas tiu kiu estas egallatera kaj rektangula, rektangulo estas tiu kiu estas rektangula tamen ne egallatera, rombo estas tiu kiu estas egallatera tamen ne rektangula, romboido estas tiu kiu havas la kontraŭaj anguloj kaj lateroj reciproke egalaj, tamen ĝi ne estas egallatera nek rektangula; kaj oni nomu trapezojn al ceteraj kvarlateraj figuroj.

23. Paralelaj rektoj estas tiuj kiuj estantaj en la sama ebeno kaj plilongigataj senfine al ambaŭ flankoj, ne troviĝas reciproke en neniu de ili.

Postulatoj

1. Oni postulu streki rektan linion ekde iu ajn punkto ĝis iu ajn punkto.

2. Kaj plilongigi senĉese finan rekton por rekta linio.

3. Kaj desegni cirklon kun iuj ajn centro kaj distanco.

4. Kaj ĉiuj rektaj anguloj esti reciproke egalaj.

5. Kaj se unu rekto incidanta sur du rektoj faras ke la internaj anguloj de la sama flanko estu malpli larĝa ol du rektaj anguloj, la du senĉese plilongigataj rektoj troviĝos en la flanko en kie estas la anguloj kiuj estas malpli largaj ol du rektaj.

Komunaj nocioj

1. La aĵoj egalaj je unu mem aĵo estas reciproke egalaj.

2. Kaj se oni aldonu egalajn aĵojn al egalaj aĵoj, la tutaĵoj estas egalaj.

3. Kaj se oni demetu egalajn aĵojn el egalaj aĵoj, la restaĵoj estas egalaj.

4. Kaj la reciproke koincidaj aĵoj estas reciproke egalaj.

5. Kaj tuto estas pli granda ol parto.

Post la definoj, postulatoj, kaj komunaj nocioj venas la propozicioj, kiuj disvolvas la geometriajn temojn.

PROPOZICIO 1: Konstrui egallateran triangulon sur donata fina rekto.

AB estu la donata fina rekto.

Do, oni devas konstrui egallateran triangulon sur la rekto AB. Priskribu la cirklon BCD kun la centro A kaj la distanco AB [Post. 3], kaj similmaniere priskribu la cirklon ACE [Post. 3], kaj streku la rektojn CA, CB ekde la punkto C en kie la cirkloj reciproke sekcas, ĝis la punktoj A, B.

Ĉar la punkto A estas la centro de la cirklo BCD, AC kaj AB estas egalaj [Def. 15]; ĉar la punkto B estas la centro de la cirklo CAE, BC kaj BA estas egalaj [Def. 15]; sed oni pruvis ke CA kaj AB estas egalaj; do ĉiu rekto CA, CB estas egala je AB. Nu, la aĵoj kiuj estas egalaj je unu mem aĵo, estas ankaŭ reciproke egalaj [K. N. 1]; do CA kaj CB estas ankaŭ egalaj; do la tri CA, AB, BC estas reciproke egalaj.

Do, la triangulo ABC estas egallatera kaj estas konstruita sur la donata fina rekto AB. Ĉi tio estas kion oni devis fari.

PROPOZICIO 2: Meti rekton, kiu estu egala je donata rekto, en donata (laŭ ekstremo) punkto.

A estu la donata punkto, kaj BC estu la donata rekto.

Do, oni devas meti rekton, kiu estu egala je la donata rekto BC, en la punkto A.

Do, streku la rekton AB ekde la punkto A ĝis la punkto B [Post. 1] kaj konstruu sur ĝi la egallateran triangulon DAB [I, 1], kaj AE, BZ estu la rezultatoj de plilongigi la rektojn DA, DB laŭ rekta linio [Post. 2] ; kaj desegnu la cirklon CHF per la centro B kaj la distanco BC, kaj similmaniere desegnu la cirklon HKL per la centro D kaj la distanco DH [Post. 3].

Ĉi tiel, ĉar la punkto B estas la centro de la cirklo CHF, BC kaj BH estas egalaj. Similmaniere ĉar la punkto D estas la centro de la cirklo HKL, DL kaj DH estas egalaj. Do la resta parto AL kaj la resta parto BH estas egalaj [K. N. 3]. Nu oni pruvis ke ankaŭ BC kaj BH estas egalaj; do ĉiu rekto AL, BC estas egala je BH. Kaj la aĵoj, kiuj estas egalaj je unu mem aĵo, estas reciproke egalaj [K. N. 1]; do ankaŭ AL kaj BC estas egalaj.

Do, en la donata punkto A oni metis la rekton AL kiu estas egala je donata rekto BC Q. E. F. (Quod erat faciendum).