Filtrilo de Ĉebiŝev

En elektroniko kaj signal-prilaborado, la filtriloj de Ĉebiŝev estas speco de analogaj aŭ ciferecaj linearaj filtriloj. Ilia amplitudo-frekvenca karakterizo havas pli krutan deklivon inter pasanta bendo kaj haltata bendo ol tiu de filtrilo de Butterworthj, kaj havas ankaŭ plurajn egalajn inter si laŭ alto ondetojn en pasanta bendo (filtriloj de speco I) aŭ en haltata bendo (filtriloj de speco II).

Filtriloj de Ĉebiŝev de speco I havas la econ, ke ili minimumigas la eraron inter la idealigita kaj la reala filtrilaj karakterizoj super la limigo de la filtriloj, sed kun ondetoj en la pasanta bendo.

Ĉi tiuj specoj de filtriloj estas nomataj en honoro de Pafnutij Ĉebiŝov ĉar iliaj matematikaj karakterizoj estas derivitaj de polinomoj de Ĉebiŝev.

Pro la ondetoj en pasanta bendo imanentaj por filtriloj de Ĉebiŝev de speco I, filtriloj kiu havas pli glatan amplitudo-frekvencan karakterizon en la pasanta bendo sed pli malregulan karakterizon en la haltata bendo estas preferataj por iuj aplikoj.

Filtriloj de Ĉebiŝev de speco I

Amplitudo-frekvenca karakterizo de kvara-orda speco-I-a malalta-pasa filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=1

Ĉi tiuj estas la plej komunaj filtriloj de Ĉebiŝev. La grandeco de amplifo kiel funkcio de angula frekvenco ω (amplitudo-frekvenca karakterizo) de la n-a orda malalta pasa filtrilo estas

$G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}$

kie ε=1 estas la ondeta faktoro;

ω₀ estas la fortranĉa frekvenco;

T_n(x) estas polinomo de Ĉebiŝev de la n-a ordo.

En la pasanta bendo estas ondetoj de egala inter si alto, kun la alto de ĉiu ondeto difinita per la ondeta faktoro ε. En la pasanta bendo, la polinomo Ĉebiŝev alternas inter 0 kaj 1, tiel la filtrila amplifo estas alterna inter maksimumoj je G=1 kaj minimumoj je $G=1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ . Je la fortranĉa frekvenco ω₀ la amplifo denove havas la valoron $1/{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}$ sed daŭre falas en la haltata bendo se la frekvenco pligrandiĝas. Ĉi tiu konduto estas montrita en la diagramo dekstre. La komuna praktiko de difinado de la fortranĉa frekvenco je amplifo 1/√2 (proksimume -3 dB) estas kutime ne aplikata al filtriloj de Ĉebiŝev; anstataŭe la fortranĉa frekvenco estas prenata kiel la punkto je kiu la amplifo lastan fojon falas al la valoro de la ondeto.

La ordo de filtrilo de Ĉebiŝev estas egala al la kvanto de reaktancokapablaj komponantoj (kutime la suma kvanto de kondensatoroj kaj induktiloj en analoga cirkvito) bezonataj por konstrui la filtrilon.

La ondeta amplekso E estas ofte donata en dB:

$E=20\log _{10}{\frac {1}{\sqrt {1+\varepsilon ^{2}}}}$ dB

kaj tiel ondeta amplitudo de preskaŭ 3 dB rezultas de ε=1.

Eĉ pli kruta deklivo de amplitudo-frekvenca karakterizo povas esti ricevita se permesi por ondetoj esti ankaŭ en la haltata bendo, per permeso de nuloj sur la jω-akso en la kompleksa ebeno. Ĉi tiu tamen rezultas en malpli granda opreso en la haltata bendo. Ĉi tiaj filtriloj estas nomataj kiel elipsaj filtriloj aŭ kiel filtriloj de Cauer.

Polusoj kaj nuloj

Logaritmo de la absoluta valoro de la amplifo de 8-orda speco-I-filtrilo de Ĉebiŝev en kompleksa frekvenca spaco (s = σ + jω) kun ε=0,1 kaj ω₀=1. La blankaj makuloj estas polusoj kaj estas aranĝitaj sur elipso kun duonakso de 0,3836... en σ kaj 1,071... en ω. La polusoj de tradona funkcio estas tiuj polusoj en la maldekstra duonebeno. Nigra respektivas al amplifo de 0,05 aŭ malpli, blanka respektivas al amplifo de 20 aŭ pli.

Por simpleco, alprenu ke la fortranĉa frekvenco estas egala al 1. La polusoj $(\omega _{pm})$ de la amplifo de la filtrilo de Ĉebiŝev estos je la nuloj de la denominatoro de la amplifo. Uzante la kompleksan frekvencon s la ekvacio por ili estas:

$1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-js)=0$

Difinante θ tiel ke -js=cos(θ) kaj uzante la trigonometrian difinon de la polinomoj de Ĉebiŝev rezultas:

$1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(\cos(\theta ))=1+\varepsilon ^{2}\cos ^{2}(n\theta )=0$

Solvante por θ

$\theta ={\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}$

kie la multaj valoroj de la arkokosinusa funkcio estas faritaj eksplicite uzante la entjeran indekson m. La polusoj de la kompleksa amplifa funkcio estas do

$s_{pm}=j\cos(\theta )\,$

$=j\cos \left({\frac {1}{n}}\arccos \left({\frac {\pm j}{\varepsilon }}\right)+{\frac {m\pi }{n}}\right)$

Uzante la ecojn de la trigonometriaj kaj hiperbolaj funkcioj, ĉi tio povas esti skribita en eksplicita kompleksa formo:

$s_{pm}^{\pm }=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})+$

$j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})$

kie m = 1, 2,..., n kaj

$\theta _{m}={\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}$

Ĉi tio povas esti vidita kiel ekvacio parametra de θ_n kaj ĝi montras ke polusoj kuŝas sur elipso en s-ebeno, centrita je s=0 kun reela duon-akso de longo $\sinh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)$ kaj imaginara duon-akso de longo $\cosh(\mathrm {arsinh} (1/\varepsilon )/n)$ .

La tradona funkcio

La pli supra esprimo liveras la polusojn de la kompleksa amplifo G. Por ĉiu kompleksa poluso, estas alia kiu estas ĝia kompleksa konjugito, kaj por ĉiu konjugita paro estas du pliaj kiuj estas la negativoj de la paro. La tradona funkcio devas esti stabila, tiel kiel ĝia polusoj estas elektitaj nur tiuj kiuj havas negativajn reelajn partojn kaj pro tio kuŝas en la maldekstra duonebeno de kompleksa frekvenca spaco. La tradona funkcio estas tiam donita per

$H(s)={\frac {1}{2^{n-1}\varepsilon }}\ \prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{(s-s_{pm}^{-})}}$

kie $s_{pm}^{-}$ estas nur tiuj polusoj kun negativa signo antaŭ la reela termo en la pli supra ekvacio por la polusoj.

La grupa malfruo

Amplifo (verda) kaj grupa malfruo (ruĝa) de kvina-ordo speco-I-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,5.

La grupa malfruo estas difinita kiel la derivaĵo de la fazo kun respekto al angula frekvenco kaj estas mezuro de la malformigo de la signalo pro fazaj diferencoj por malsamaj frekvencoj.

$\tau _{g}=-{\frac {d}{d\omega }}\arg(H(j\omega ))$

La amplifo kaj la grupa malfruo por kvina-ordo speco-I-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,5 estas grafike prezentita en la grafikaĵo dekstre. Videblas ke estas ondetoj en la amplifo kaj en la grupa malfruo en la pasanta bendo sed ne en la haltanta bendo.

Filtriloj de Ĉebiŝev de speco II

La amplitudo-frekvenca karakterizo de kvina-orda speco-II malalta-pasa filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,01

Ankaŭ sciataj kiel inversaj filtriloj de Ĉebiŝev, ĉi tiu speco estas malpli komuna ĉar ĝia frekvenca karakterizo ne falas tiel rapide kiel tiu de speco I, kaj postulas pli grandan kvanton de komponantoj. Ĝi ne havas ondetojn en la pasanta bendo, sed havas ondetojn en la haltata bendo. La amplifo estas:

$G_{n}(\omega ,\omega _{0})={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}}$

En la haltata bendo, la polinomo de Ĉebiŝev oscilas inter 0 kaj 1 kaj do la amplifo oscilas inter nulo kaj

${\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}}}$

kaj la plej malgranda frekvenco je kiu ĉi tiu maksimumo estas atingata estas fortranĉa frekvenco ω₀. La parametro ε estas tial rilatanta al la malamplifo en haltata bendo γ en decibeloj per:

$\varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0,1\gamma }-1}}}$

Por haltata benda malamplifo de 5 dB, ε ≈ 0,6801; por malamplifo de 10 dB, ε ≈ 0,3333. La frekvenco f_C = ω_C/2π estas la fortranĉa frekvenco. La frekvenco f_H de amplifo 1/√2 estas rilatanta al f_C per:

$f_{H}={\frac {f_{C}}{\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\varepsilon }}\right)}}$

Polusoj kaj nuloj

Logaritmo de la absoluta valoro de la amplifo de 8-orda speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev en kompleksa frekvenca spaco (s = σ + jω) kun ε=0,1 kaj ω₀=1. La blankaj makuloj estas polusoj kaj la nigraj makuloj estas nuloj. Ĉiuj 16 polusoj estas montritaj. Ĉiu nulo havas oblecon 2, kaj 12 nuloj estas montritaj kaj 4 situas ekster la bildo, du sur la pozitiva ω akso, kaj du sur la negativa. La polusoj de la tradona funkcio estas polusoj en maldekstra duonebeno kaj la nuloj de la tradona funkcio estos la donitaj nuloj, sed kun obleco 1. Nigra respektivas al amplifo de 0,05 aŭ malpli, blanka respektivas al amplifo de 20 aŭ pli.

Denove, alprenante ke la fortranĉa frekvenco estas egala al 1, la polusoj $(\omega _{pm})$ de la filtrilo de Ĉebiŝev estas la nuloj de la denominatoro de la amplifo:

$1+\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{pm})=0$

La polusoj de kompleksa amplifo de la speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev estas la inversoj de la polusoj de la speco-I-filtrilo:

${\frac {1}{s_{pm}^{\pm }}}=\pm \sinh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\sin(\theta _{m})$

$\qquad +j\cosh \left({\frac {1}{n}}\mathrm {arsinh} \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)\right)\cos(\theta _{m})$

kie m = 1, 2, ..., n . La nuloj $(\omega _{zm})$ de la speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev estas la nuloj de la numeratoro de la amplifo:

$\varepsilon ^{2}T_{n}^{2}(-1/js_{zm})=0$

La nuloj de la speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev estas tial la inversoj de la nuloj de la polinomo de Ĉebiŝev.

$1/s_{zm}=-j\cos \left({\frac {\pi }{2}}\,{\frac {2m-1}{n}}\right)$

por m = 1, 2, ..., n.

La tradona funkcio

La tradona funkcio estas donita per la polusoj en la maldekstra duonebeno de la kompleksa amplifa funkcio, kaj havas la samajn nulojn sed ĉi tiuj nuloj estas la solaj anstataŭ duopaj nuloj.

La grupa malfruo

Amplifo (verda) kaj grupa malfruo (ruĝa) de kvina-orda speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0,1

La amplifo kaj la grupa malfruo por kvina-orda speco-II-filtrilo de Ĉebiŝev kun ε=0.1 estas montrita en la grafikaĵo. Videblas ke estas ondetoj de la amplifo en la haltata bendo sed ne en la pasanta bendo.

Realigo

Topologio de Cauer

Malalta-pasa filtrilo kun topologio de Cauer

Pasiva LC-malalta-pasa filtrilo de Ĉebiŝev povas esti konstruita per topologio de Cauer.

Per frekvenca transformo kaj impedanca skalado, la ununormigita malalta-pasa filtrilo povas esti konvertita en alta-pasan filtrilon, bendo-pasan filtrilon, kaj bendo-haltan filtrilon de ĉiu dezirata fortranĉa frekvenco aŭ bendlarĝo.

Cifereca realigo

Kiel kun plejparto de analogaj filtriloj, la filtriloj de Ĉebiŝev povas esti konvertitaj en ciferecan diskreta-tempan rikuran formon tra la dulineara konverto. Tamen, pro tio ke ciferecaj filtriloj havas finian bendlarĝon, la amplitudo-frekvenca karakterizo de la konvertita filtrilo estas malformigata je grandaj frekvencoj. Alternative, la Z-konverta maniero povas esti uzata, kiu ne malformigas la karakterizon.

Komparo kun aliaj linearaj filtriloj

Jena bildo montras la karakterizojn de filtriloj de Ĉebiŝev kune kun tiuj de la aliaj komunaj specoj de filtriloj ricevitaj kun la sama kvanto de koeficientoj (ĉiuj filtriloj estas de kvina ordo):

Kiel videblas de la bildo, filtriloj de Ĉebiŝev havas pli krutan deklivon de amplitudo-frekvenca karakterizo inter pasanta bendo kaj haltata bendo ol tiu de filtrilo de Butterworth. Sed la deklivo de filtriloj de Ĉebiŝev estas ne tiel kruta kiel tiu de la elipsaj filtriloj.

Vidu ankaŭ

• Filtrilo de Butterworth
• Filtrilo de Bessel
• Elipsa filtrilo

Eksteraj ligiloj

• Filtriloj de Ĉebiŝev de speco I
• Filtriloj de Ĉebiŝev de speco II
• Cifereca filtrado Arkivigite je 2007-03-12 per la retarkivo Wayback Machine
• Malalta-pasaj filtriloj
• Rikuraj filtriloj Arkivigite je 2013-11-30 per la retarkivo Wayback Machine
• Klasifiko de filtriloj
• Komparo de filtriloj Arkivigite je 2012-08-05 per la retarkivo Wayback Machine