Harmona meznombro

En matematiko, harmona meznombro estas speco de meznombro aŭ centra dispozicio de aro de nombroj.

La harmona meznombro H de pozitivaj reelaj nombroj x₁, x₂, ..., x_n estas la inverso de aritmetika meznombro de inversoj de la fontaj nombroj:

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}1/x_{i}}}$

Ekzemple harmona meznombro de nombroj 5 kaj 20 estas

${\frac {2}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}}}={\frac {2}{\frac {1}{4}}}=8$

kaj harmona meznombro de nombroj 2, 2, 5, 7 estas

${\frac {4}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}}={\frac {140}{47}}\approx 2,98$

Harmona meznombro estas ĉiam inter minimumo kaj maksimumo de la datumaro:

$\operatorname {min} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\leq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \operatorname {max} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

kie la egalecoj estas se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Geometria konstruado de aritmetika, geometria kaj harmona meznombroj de du nombroj. La harmona meznombro estas signifita per H en purpura koloro.

Por ĉiu datumaro, la harmona meznombro estas malpli granda ol aŭ egala al la geometria meznombro de la datumaro; kaj la geometria meznombro de datumaro estas malpli granda ol aŭ egala al aritmetika meznombro de la datumaro. La ĉiuj tri meznombroj estas inter si egalaj se kaj nur se ĉiuj membroj de la datumaro estas egalaj inter si.

Harmona meznombro estas la speciala okazo M_-1 de la potenca meznombro. Harmona meznombro estas la ĝeneraligita funkcia meznombro kun inverso kiel la funkcio, f(x) = 1/x.

Pro tio ke la harmona meznombro de aro de nombroj emas forte al la plej malgrandaj eroj, ĝi komparite al la aritmetika meznombro, malpligrandigas influo de la grandaj eroj kaj pligrandigas influon de la malgrandaj eroj.

Pondita harmona meznombro

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Pondita harmona meznombro.

Se estas ankaŭ aro de pondnombroj w₁, w₂, ..., w_n asociita kun la datumaro x₁, x₂, ..., x_n, do la pondita harmona meznombro estas

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\bigg /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}$

La simpla harmona meznombro estas la speciala okazo en kiu ĉiuj pondnombroj w_i egalas al 1.

Harmona meznombro de du nombroj

Por la speciala okazo de du nombroj x₁ kaj x₂, la harmona meznombro povas esti skribita kiel

$H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}$

En ĉi tiu okazo la harmona meznombro estas rilatanta al la aritmetika meznombro $A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ kaj la geometria meznombro $G={\sqrt {x_{1}x_{2}}}$ kiel

$H={\frac {G^{2}}{A}}$

$G={\sqrt {AH}}$

Tiel la geometria meznombro de du nombroj estas geometria meznombro de aritmetika meznombro kaj harmona meznombro de la fontaj nombroj.

Ekzemploj

En certaj situacioj la harmona meznombro donas la veran mezan efikan valoron de kelkaj nombroj.

Ekzemple, se veturilo vojaĝas certan distancon je rapido x (ekzemple 60 kilometroj en horo) kaj tuj poste la saman distanco je rapido y (ekzemple 40 kilometroj en horo), tiam ĝia entuta efika rapido estas la harmona meznombro de x kaj y (48 kilometro en horo), kaj ĝia tuteca vojaĝo tempo estas tia kvazaŭ ĝi vojaĝis la tutan distancon je harmona meznombra rapido. Tamen, se la veturilo vojaĝas dum certa tempodaŭro je rapido x kaj tuj poste la saman tempodaŭron je rapido y, tiam ĝia entuta efika rapido estas la aritmetika meznombro de x kaj y, kiu en ĉi tiu ekzemplo ĝi estas 50 kilometro en horo.

La sama principo aplikas al pli ol du segmentoj. Se la distancoj estas malsamaj, tiam pondita harmona meznombro kun la distancoj kiel pondnombroj devas esti uzata; aŭ se la tempodaŭroj estas malsamaj, tiam pondita aritmetika meznombro kun la tempodaŭroj kiel pondnombroj devas esti uzata.

Simile, se oni konektas du elektrajn rezistilojn en paralele, unu kun rezistanco x (ekzemple 60 Ω) kaj unu kun rezistanco y (ekzemple 40 Ω), tiam la efiko estas la sama kvazaŭ estas du la egalaj inter si rezistiloj kun rezistanco egala al la harmona meznombro de x kaj y (48 Ω); la entuta rezistanco en ĉu tiu ekzemplo estas 24Ω (duono de la harmona meznombro). Tamen, se se oni konektas serie, tiam la efiko estas la sama kvazaŭ estas du la egalaj inter si rezistiloj kun rezistanco egala al aritmetika meznombro de x kaj y (50 Ω); la entuta rezistanco en ĉu tiu ekzemplo estas 100 Ω (duoblo de la aritmetika meznombro).

La sama principo aplikas al pli ol du rezistiloj.

Vidu ankaŭ

• Aritmetika meznombro
• Mediano (statistiko)
• Aritmetiko-geometria meznombro
• Pondita geometria meznombro
• Geometria meznombro
• Kvadrata averaĝo
• Ĝeneraligita meznombro
• Ĝeneraligita funkcia meznombro
• Neegalaĵo pri aritmetika kaj geometria meznombroj
• Centra dispozicio
• Hiperbolaj koordinatoj
• Harmona nombro
• Kurzo

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Harmona meznombro en MathWorld.
• Averaĝoj, aritmetika kaj harmona meznombroj je tranĉi-la-nodon