En matematiko, hiperoperatoro estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la hiper-n funkcioj de du argumentoj:
(Vidu supren-sagan notacion de Knuth kaj sagoĉenan notacion de Conway.)
La notacio povas vidiĝi kiel konforma al la demando "kio estas venonta en ĉi tiu vico?":
Notu, ke ekzistas la rikuraj rilatoj:
![{\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea77544228f9a48e2440f478b867596f859ae43)
![{\displaystyle a\times b=a+(a\times (b-1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3350c623b5ba0aa3de77638ca333a49cb2fd08d)
![{\displaystyle a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a61b2ef6536005ec13278767245d704016d11d)
Okazo de n=0 estas konforma laŭ la postanta funkcio (adicio de 1).
La rikura difino de la hiperoperatoro estas:
Ĉi tio donas jenon:
Por n=4 estas hyper4 aŭ supereksponento, superpotencigo aŭ potenca turo:
La alia notacio por supereksponento estas
Ekzemplo de uzo de la rikura difino:
![{\displaystyle 3^{(4)}3=3^{(3)}(3^{(4)}2)=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))=3^{3^{3^{1}}}=3^{27}=7625597484987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae684149a1a14496329da49fc270445f68922539)
La familio ne estas etendita de naturaj nombroj al reelaj nombroj ĝenerale por n>3, pro neasocieco en la "evidentaj" vojoj por fari ĝin.
Alternativo por ĉi tiuj operatoroj estas ricevita per pritakso de maldekstro dekstren. Estu (kun subaj indicoj anstataŭ supraj indicoj)
![{\displaystyle a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a013b46b06b694af3be35296ffd8a118c367489)
kun
![{\displaystyle a_{(1)}b=a+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46e89024541ffae2166962df1b26238b4fc841b)
![{\displaystyle a_{(2)}0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6bda83e49f18cf530dededb3d1f2c4d79dee22)
por n>2
Pro tio ke
![{\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a093d8858f1cd2f57cb7d4af7643baed3f575bb2)
![{\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e3dd263ef25ae6d71fa328e05e727832f46b26)
![{\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071e015fccd196c30f683d6c963a9bcb97c2c46f)
rezultiĝas ke
por n≤3.
Sed ĉi tiu formo ne donas la potencan turon tradicie atendatan de hyper4:
![{\displaystyle a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99beb6c42c57b4040b1647bb5f6f0ed8814d030)
Kial povas
esti la sama kiel
por n≤3, sed malsama por n>3? Ĉi tio estas pro simetrio (asocieco) de adicio kaj multipliko, sed kiu potencigo ne estas simetria.