Identa matrico

En lineara algebro identa matrico aŭ unuobla matrico de amplekso n estas n-per-n kvadrata matrico kun eroj 1 sur la ĉefdiagonalo kaj nuloj aliloke. Ĝi estas skribata kiel I_n, aŭ simple per I se la amplekso estas negrava aŭ povas esti bagatele difinita per la ĉirkaŭteksto.

En iuj kampoj, ekzemple en kvantuma mekaniko, la identa matrico estas skribata per cifero 1 en grasa tiparfasono, 1. Oni uzas ankaŭ skribojn U kaj E al prezenti la identan matricon (de Unua Matrico aŭ de la germana Einheitsmatrix respektive), kvankam skribo I estas konsiderata kiel pli universala.

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

La grava propraĵo de I_n estas ke por ĉiu n-per-n matrico A,

I_nA = AI_n = A .

Ankaŭ por ne kvadrata A la propraĵo veras se la matrica multipliko estas difinita, por ĉiu m-per-n matrico A,

I_mA = AI_n = A .

La identa matrico estas inversigebla:

I_n⁻¹ = I_n .

Identa matrico servas kiel la unuo de la ringo de ĉiuj n-per-n matricoj, kaj kiel la neŭtra elemento de la ĝenerala lineara grupo Gl(n) konsistanta el ĉiuj inversigeblaj n-per-n matricoj.

Se n-per-n matricoj estas uzataj por prezenti linearajn transformojn de n-dimensia vektora spaco al si, I_n prezentas la identan funkcion, sendepende de la uzata bazo.

La i-a kolumno de identa matrico estas la unuobla vektoro e_i. La unuoblaj vektoroj estas bazo de ejgenspaco de la identa matrico, respektiva al ejgeno 1, kiu estas pro tio la sola ejgeno kaj havas oblecon n. Do, ĉiu n-dimensia ne nula vektoro estas ejgenvektoro de la identa matrico.

Determinanto de identa matrico estas 1 kaj ĝia spuro estas n.

Identa matrico estas diagonala matrico:

I_n = diag(1,1,...,1) .

Se produto de du kvadrataj matricoj A kaj B estas identa matrico,

AB = I_n

do la matricoj estas inversoj unu de la alia:

A = B⁻¹ ,

B = A⁻¹ .

Eksteraj ligiloj

• Identa matrico en PlanetMath.
• Identa matrico je MathWorld