Kelkaj kompleksaj variabloj

Kelkaj kompleksaj variabloj estas matematika kampo en kiu oni studas holomorfajn funkciojn en pli ol unu kompleksa dimensio.

Holomorfaj funkcioj

Se $U\subset {\mathbb {C} }^{n}$ estas domajno, oni diras ke funkcio $f\colon U\to {\mathbb {C} }^{n}$ estas holomorfa se ĝi estas holomorfa aparte en ĉiu variablo. Pli precize, se $(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ estas la koordinatoj, tiam $f$ estas holomorfa se la funkcio$$\xi \mapsto f(z_{1},\ldots ,z_{j-1},\xi ,z_{j+1},\ldots ,z_{n})$$ estas holomorfa kiel funkcio de unu kompleksa variablo por ĉiu $j$

Oni ankaŭ povas difini holomorfan funkcion per parta diferenciala ekvacio. Estu $z_{j}=x_{j}+iy_{j}$. Difinu $${\frac {\partial }{\partial z_{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right),\qquad {\text{ kaj }}\qquad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)$$ Tiam $f$ estas holomorfa, se la funkcio sekvas la ekvaciojn de Cauchy-Riemann: $${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{j}}}f=0,\quad {\text{por ĉiu }}j=1,2,\ldots ,n.$$