Kontraŭmemadjunkta matrico

En lineara algebro, kontraŭ-memadjunkta matrico aŭ deklivo-memadjunkta matrico estas kvadrata matrico A konjugita transpono de kiu A^* estas egala al ĝia negativo:

A^* = - A

aŭ en komponanto formo, se A = (a_i,j), ĉiu elemento estas egala al negativo de kompleksa konjugito de elemento en situo simetria respektive al la ĉefdiagonalo:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}

por ĉiuj i kaj j.

Ekzemploj

Ekzemple, jena matrico estas kontraŭmemadjunkta:

{\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}

Propraĵoj

Ĉiuj ejgenoj de kontraŭmemadjunkta matrico estas pure imaginaraj. Kontraŭmemadjunkta matrico estas normala. De ĉi tie kontraŭmemadjunkta matrico estas diagonaligebla kaj ĝiaj ejgenvektoroj por malsamaj ejgenoj devas esti perpendikulara.
Ĉiuj elementoj sur ĉefdiagonalo de kontraŭmemadjunkta matrico estas pure imaginaraj.
Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam iA estas memadjunkta matrico.
Se A, B estas kontraŭmemadjunktaj, tiam aA + bB estas kontraŭmemadjunkta por ĉiuj reelaj nombroj a, b.
Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam A^2k estas Hermita por ĉiuj pozitivaj entjeroj k.
Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam ĝia potenco Aⁿ kun nepara n estas kontraŭmemadjunkta.
Se A estas kontraŭmemadjunkta, tiam ĝia eksponento e^A estas unita matrico.
Por ĉiu kvadrata matrico C, la diferenco de ĝi kaj ĝia konjugita transpono C - C^* estas kontraŭmemadjunkta.
Ĉiu kvadrata matrico C povas esti skribita kiel sumo de memadjunkta matrico A kaj kontraŭmemadjunkta matrico B:

C=A+B\quad {\mbox{ kie }}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{ kaj }}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*}).

Vidu ankaŭ