Kurbeco (kurbo)

Termino kurbeco estas uzata precipe en matematiko por esprimi dekliniĝon de rekta direkto.

Kurbeco origine signifas (speciala) eco de la kurboj:

• Kurbeco de kurbo en 2-spaco (ebeno), 3-spaco aŭ n-spaco

Pli amplekse:

• Kurbeco de surfaco en 3-spaco aŭ n-spaco
• Kurbeco de 3-spaco en 4-spaco ktp.
• Skalara kurbeco

Tiel kurbeco estas rilata al kelkaj interrilataj konceptoj en malsamaj areoj de geometrio. Intuicie, kurbeco estas la kvanto, per kiu geometria objekto dekliniĝas de rekteco aŭ ebeneco, sed ĉi tiu estas difinita en malsama manieroj depende de la ĉirkaŭteksto. Estas ŝlosila distingo inter ekstera kurbeco, kiu estas difinita por objektoj enigitaj en alia spaco (kutime eŭklida spaco) kvazaŭ tiu kiu rilatas al la kurbecoradiuso de cirkloj, kiuj tuŝas la objekton, kaj apriora kurbeco (kurbeca tensoro) kiu estas difinita je ĉiu punkto en diferencialebla sternaĵo. Ĉi tiu artikolo traktas unuavice la unuan koncepton.

La origina ekzemplo de ekstera kurbeco estas tiu de cirklo kiu havas kurbecon egalan al la inverso de ĝia radiuso ĉie. Pli malgrandaj cirkloj kurbiĝas pli akre, kaj de ĉi tie havas pli altan kurbecon. Plie, la kurbeco de glata kurbo estas difinita kiel la kurbeco de ĝia kurbecocirklo je ĉiu punkto.

En ebeno, tio estas skalara kvanto, sed en tri aŭ pli multaj dimensioj ĝi estas priskribita per kurbeca vektoro, kiu prenas en konsidero direkton de la kurbiĝo kaj ankaŭ ĝian akrecon. La kurbeco de pli kompleksaj objektoj (kiel surfacoj aŭ eĉ n-dimensiaj spacoj) estas priskribita per pli kompleksaj objektoj de lineara algebro, kiel la ĝenerala rimana kurbectensoro.

La resto de ĉi tiuj artikolo pridiskutas, el matematika perspektivo, iujn geometriajn ekzemplojn de kurbeco: la kurbeco de kurbo enigita en ebeno kaj la kurbeco de surfaco en eŭklida 3-spaco.

Vidu la ligojn pli sube por plua legado.

Kurbeco de ebenaj kurboj

Bildigo de kurbeco de arko difinita ĉi tie per $\gamma$

Por ebena kurbo C, la kurbeco ĉe donita punkto P havas grandecon egalan al la inverso de la radiuso de kurbecocirklo kiu tuŝas la kurbon ĉe la donita punkto, kaj estas vektoro montranta rekte al tiu cirkla centro. Ju pli malgranda la radiuso r de la kurbecocirklo, des pli granda la grandeco de la kurbeco (1/r) estas; tiel ke kie kurbo estas "proksimume rekta", la kurbeco estas proksimume al nulo, kaj kie la kurbo spertas striktan turnon, la kurbeco estas granda.

La grandeco de kurbeco ĉe punktoj sur fizikaj kurboj povas esti mezurita en dioptrioj; dioptrio estas la mezurunuo egala al 1 dividita per metro.

Rekto havas kurbecon 0 ĉie; cirklo de radiuso r havas kurbecon 1/r ĉie.

Por difini la kurbecon de iu ajn kurbo ĉe punkto, konsideru kurbsegmenton de longo $\Delta s$, kiu enhavas la koncernan punkton kaj kies la du tanĝantoj ĉe la finpunktoj de la segmento intersekcas laŭ la angulo $\alpha$, tiel la kurbeco $\kappa$ en la punkto estas determinita per

$\kappa =\lim _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\Delta \alpha }{\Delta s}}={\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} s}}$.

Lokaj esprimoj

Por ebena kurbo donita parametre kiel c(t) = (x(t), y(t)) la kurbeco estas

$\kappa =\left|{\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})}^{3/2}}}\right|$

kie ĉiu punkto signifas diferencialadon kun respekto al t.

Pri kurbo difinita per grafikaĵo $f$ la kurbeco en la punkto A difinita per ${\vec {r}}(x)=\left(x,f(x)\right)$ estas donita per :

$\kappa (x)={\frac {f''(x)}{\left(1+f'(x)^{2}\right)^{3/2}}}$,

notinde ke $\alpha (x)=\arctan {f'(x)}$.

Por ebena kurbo donita implice kiel f(x, y)=0 la kurbeco estas

$\kappa =\left|\nabla \cdot \left({\frac {\nabla f}{\|\nabla f\|}}\right)\right|$

tio estas, la diverĝenco de la direkto de la gradiento de f.

Ĉi tiu lasta formulo ankaŭ donas la meznombran kurbecon de hiperebeno en eŭklida spaco (kun precizo de multiplika konstanto).

Ekzemplo

Estu la parabolo $y=x^{2}$. Oni povas parametrigi la kurbon simple kiel $c(t)=(t,t^{2})=(x,y)$,

${\dot {x}}=1,\quad {\ddot {x}}=0,\quad {\dot {y}}=2t,\quad {\ddot {y}}=2$

Tiam

$\kappa (t)=\left|{\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})}^{3/2}}}\right|={1\cdot 2-(2t)(0) \over (1+(2t)^{2})^{3/2}}={2 \over (1+4t^{2})^{3/2}}$ ,

se t proksimiĝas al infinito la kurbeco proksimiĝas al nulo.

Kurbeco de kurboj en 3-spaco

Por kurbo donita parametre kiel c(t) = (x(t), y(t), z(t)) la kurbeco estas

$\kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}$

aŭ

$\kappa ={\frac {|{\dot {c}}\times {\ddot {c}}|}{|{\dot {c}}|^{3}}}$

kie ${\dot {c}}$ and ${\ddot {c}}$ estas la unua kaj la dua derivaĵoj de c(t), respektive.

Vidu ankaŭ en tordeco de kurbo.

Kurbeco de surfacoj en 3-spaco

Por du-dimensiaj surfacoj enigitaj en eŭklida spaco R³ estas du specoj de kurbeco: gaŭsa kurbeco kaj meznombra kurbeco. Por kalkuli tiujn ĉe donita punkto de la surfaco, konsideru la komunaĵon de la surfaco kun ebeno enhavanta normalan vektoron de la surfaco ĉe la punkto. Ĉi tiu komunaĵo estas ebena kurbo kaj havas kurbecon; se oni variigos la ebenon, tiu kurbeco ŝanĝiĝas, kaj estas du ekstremaj valoroj — la maksimuma kaj la minimuma kurbecoj, nomataj kiel la ĉefaj kurbecoj, k₁ kaj k₂, la ekstremaj direktoj estas nomataj kiel la ĉefaj direktoj.

Ĉi tie oni adoptas la konvencion, ke kurbeco estas prenita esti pozitiva se la kurbo kurbiĝas en la sama direkto kiel la surfaca elektita normala, alie negativa.

La gaŭsa kurbeco, nomita pro Carl Friedrich Gauss, estas egala al la produto de la ĉefaj kurbecoj, k₁k₂. Ĝi havas la dimension 1/longo² kaj estas pozitiva por sfero, negativa por unu-folio hiperboloido kaj nulo por ebeno kaj por cilindra surfaco. Ĝi difinas ĉu surfaco estas loke konveksa (kiam ĝi estas pozitiva) aŭ loke sela (kiam ĝi estas negativa).

La pli supra difino de gaŭsa kurbeco estas ekstera en tio, ke ĝi uzas la surfacan enigon en R³, normalajn vektorojn, eksterajn ebenojn kaj tiel plu. Gaŭsa kurbeco estas tamen fakte apriora propraĵo de la surfaco, signife ĝi ne dependas de la aparta enigo de la surfaco; intuicie, tio signifas, ke formikoj loĝantaj sur la surfaco povas difini la gaŭsan kurbecon. Formale, gaŭsa kurbeco nur dependas de la rimana metriko de la surfaco. Tio estas la fama Theorema Egregium de Gaŭso, kiun li fundamentis dum kiam li okupiĝis pri geografiaj katastroj kaj mapo-farado.

Apriora difino de la gaŭsa kurbeco je punkto P estas jena: imagu formikon kiu estas ligita al P kun mallonga fadeno de longo r. Ŝi kuras ĉirkaŭ P dum la fadeno estas plene streĉita kaj mezuras la longon C(r) de unu kompleta promeno ĉirkaŭ P. Se la surfaco estis plata, ŝi devus trovi ke C(r) = 2πr. Sur aliaj surfacoj, la formulo por C(r) estos malsama, kaj la gaŭsa kurbeco K ĉe la punkto P povas esti komputita kiel

$K=\lim _{r\rightarrow 0}(2\pi r-{\mbox{C}}(r))\cdot {\frac {3}{\pi r^{3}}}.$

La integralo de la Gaŭsa kurbeco super la tuta surfaco estas proksime rilatanta al la surfaca eŭlera karakterizo; vidu en la gaŭso-kufa teoremo.

La meznombra kurbeco estas egala al la sumo de la ĉefaj kurbecoj, (k₁+k₂)/2. Ĝi havas la dimension 1/longo. Meznombra kurbeco estas proksime rilatanta al la unua variado de surfaca areo, en aparta minimuma surfaco kiel sapa filmo havas meznombran kurbecan nulon kaj sapa efervesko havas konstantan meznombran kurbecon. Malsimile al gaŭsa kurbeco, la meznombra kurbeco dependas de la enigo, ekzemple, cilindro kaj ebeno estas loke izometria sed la meznombro kurbeco de ebeno estas nulo dum tiu de cilindro estas ne nulo.

Kurbeco de spaco

Kosmologio havas koncepto de kurbeco de spaco, kiu traktas spacon kiel pseŭdo-rimanan sternaĵon (en:Pseudo-Riemannian_manifold); vidu Kurbeco_de_rimanaj_sternaĵoj.

Spaco sen kurbeco estas nomata kiel ebena spaco aŭ eŭklida spaco. Vidu ankaŭ en Formo_de_la_universo (en:Shape_of_the_universe).

Vidu ankaŭ

• Kurbeca formo por la adekvata nocio de kurbeco por vektoraj pakaĵoj kaj ĉefaj pakaĵoj kun ligo.
• Kurbeco de rimanaj sternaĵoj por ĝeneraligoj de gaŭsa kurbeco al pli alte dimensiaj rimanaj sternaĵoj.
• Kurbeca vektoro kaj geodezia kurbeco por adekvataj nocioj de kurbeco de kurboj en rimanaj sternaĵoj, de iu ajn dimensio.
• Diferenciala geometrio de kurboj por plena traktado de kurboj enigitaj en eŭklida spaco de ajna dimensio.
• Gaŭsa surĵeto por pli geometriaj propraĵoj de gaŭsa kurbeco.
• Gaŭso-kufa teoremo por rudimenta apliko de kurbeco.
• Kurbectensoro de Ricci
• Tordeco de kurbo