Leĝo de grandaj nombroj

En statistika ĉirkaŭteksto, leĝoj de grandaj nombroj implicas, ke la averaĝo de hazardaj specimenoj el granda statistika populacio verŝajne estas proksima al la averaĝo de la tuta populacio.

En probabloteorio, kelkaj leĝoj de grandaj nombroj konstatas, ke la averaĝo de vico de hazardaj variabloj kun ordinara distribuo konverĝas (en la sencoj donitaj pli sube) al sia komuna atendata valoro (ekspekto), en la limigo kiel la amplekso de la vico iras al malfinio. Diversaj formulaĵoj de la leĝo de grandaj nombroj, kaj iliaj asociitaj kondiĉoj, precizigas konverĝon en malsama manieroj.

Kiam la hazarda variablo havas finian variancon, la centra limiga teoremo etendigas nian komprenon de la konverĝo de ilia averaĝa per priskribo de la distribuo de la normigita diferenco inter la sumo de la hazarda variablo kaj la ekspekto de ĉi tiu sumo. Sendistinge de la suba distribuo de la hazarda variablo, ĉi tiu normigita diferenco konverĝas en distribuo al norme normala hazarda variablo.

La frazo "leĝo de grandaj nombroj" estas ankaŭ iam uzata por nomi la principon, ke la probablo ke iu ajn ebla evento (eĉ malverŝajna unu) okazas almenaŭ iam en serio pligrandiĝas kun la kvanto de eventoj en la serio. Ekzemple, la ŝanco, ke vi gajnos la loterion estas tre malalta; tamen, la ŝanco, ke iu gajnos la loterion estas sufiĉe bona, se granda sufiĉe kvanto da homoj aĉetis loteriajn biletojn.

Formoj kaj pruvoj

La malforta leĝo

La malforta leĝo de grandaj nombroj diras, ke se X₁, X₂, X₃, ... estas malfinia vico de hazardaj variabloj, kie ĉiu hazarda variablo havas la saman atendatan valoron μ kaj variancon σ²; kaj ili estas nekorelaciigitaj (kio estas, la korelacio inter iuj ajn du el ili estas nulo), tiam la specimena averaĝo

${\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n$

konverĝas en probablo al μ.

Io malpli koncize: Por iu ajn pozitiva nombro ε, ne grave kiel malgranda, oni havas ke

$\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {P} \left(\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon \right)=1$

Pruvo

Neegalaĵo de Ĉebiŝev estas uzata por pruvi ĉi tiun rezulton. Finia varianco $\operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}$ (por ĉiuj i) kaj nenia korelacio donas ke

$\operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

La ordinara meznombro μ de la vico estas la meznombro de la specimena averaĝo:

$E({\overline {X}}_{n})=\mu .$

Uzo de neegalaĵo de Ĉebiŝev sur ${\overline {X}}_{n}$ rezultas ke

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.$

Ĉi tiu povas uziĝi por ricevi jenon:

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\leq \varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|>\varepsilon )\geq 1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{\varepsilon ^{2}n}}.$

Kiam n proksimiĝas malfinion, la esprimo proksimiĝas al 1.

Fino de pruvo

Konsekvenco de la malforta leĝo de grandaj nombroj estas la propraĵo de asimptota ekvivalenta dispartigo.

La forta leĝo

La forta leĝo de grandaj nombroj diras, ke se X₁, X₂, X₃, ... estas malfinia vico de hazardaj variabloj, kiuj estas pare sendependaj kaj idente distribuitaj kun E(|X_mi|) < ∞   (kaj kie la komuna atendata valoro estas μ),

tiam

$\operatorname {P} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1,$

tio estas, la specimena averaĝo konverĝas preskaŭ certe al μ.

Se oni anstataŭigas la finian atenditan kondiĉon per finia dua momanta kondiĉo,  E(X_mi²) < ∞ (kiu estas la sama kiel premiso ke X_i havas variancon), tiam oni ricevas kaj preskaŭ certan konverĝon kaj konverĝon en meznombro-kvadrato. En ĉu kazo, ĉi tiuj kondiĉoj ankaŭ enhavas la konsekvencan malfortan leĝon de grandaj nombroj, ĉar preskaŭ certa konverĝo implicas konverĝon en probablo (kiel, ja, konverĝas en meznombro-kvadrato).

Ĉi tiu leĝo pravigas la intuician interpretadon de la atendata valoro de hazarda variablo kiel la "longtempa averaĝo dum multfoja specimenado".

Pli malforta leĝo kaj pruvo

Pruvoj de la pli supraj malforta kaj forta leĝoj de grandaj nombroj estas iom komplikaj. La sekvo de la iomete pli malforta formo pli sube estas implicita de la malforta leĝo pli supre (ĉar konverĝo en distribuo estas implicita de konverĝo en probablo), sed havas pli simplan pruvon.

Teoremo. Estu X₁, X₂, X₃, ... vico de hazardaj variabloj, sendependaj kaj idente distribuitaj kun komuna meznombro μ < ∞, kaj difinu la partan sumon S_n = X₁ + X₂ + ... +X_n. Tiam,  S_n / n konverĝas en distribuo al μ.

Pruvo. Per teoremo de Taylor por kompleksaj funkcioj, la karakteriza funkcio de iu ajn hazarda variablo, X, kun finia meznombro μ, povas esti skribita kiel

$\varphi (t)=1+it\mu +o(t),\quad t\rightarrow 0$

Tiam, ĉar la karakteriza funkcio de la sumo de hazardaj variabloj estas produto de iliaj karakterizaj funkcioj, la karakteriza funkcio de  S_n / n  estas

$\left[\varphi \left({t \over n}\right)\right]^{n}=\left[1+i\mu {t \over n}+o\left({t \over n}\right)\right]^{n}\,\rightarrow \,e^{it\mu },\quad \quad n\rightarrow \infty$

La limigo  e^itμ  estas la karakteriza funkcio de la konstanta hazarda variablo μ, kaj tial laŭ la kontunueca teoremo de Lévy,  S_n / n konverĝas en distribuo al μ. Notu, ke la pruvo de la centra limiga teoremo, kiu informas plion pri la konverĝo de la averaĝa al μ (kiam la varianco σ ² estas finia), sekvas tre similan aliron.

Eksteraj ligiloj

• MathWorld: Malforta Leĝo de Grandaj Nombroj
• MathWorld: Forta Leĝo de Grandaj Nombroj