Modelo de Debye

La modelo de Debye estas modelo de solido far Peter Debye en 1912. Ĝi modelas la kontribuaĵojn de fononoj en solido al la propraĵoj de la solido. Ĝi estas akurata ĉe aŭ altegaj aŭ malaltegaj temperaturoj, sed ne estas akurata ĉe mezaj temperaturoj.

Derivado

Konsideru solidan kubon kun eĝo $L$. Ĝi havas sonajn modojn etiketitajn per tri entjerojn $n_{x},n_{y},n_{z}$ tia ke la ondolongo laŭ la $x$-direkto estas $\lambda _{x}=2L/n_{x}$ kaj simile por $y$ kaj $z$.

Ni supozu konstantan rapidon de sono $v$ ĝis ia maksimuma frekvenco. (Tiu postulo ne estas ĝusta por fononoj kun grandegaj frekvencoj.) Do la energio de la $(n_{x},n_{y},n_{z})$-fonono estas

$E={\frac {hv}{2L}}{\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}={\frac {hv}{2L}}\lVert \mathbf {n} \rVert$.

Fononoj estas bosonoj: ili sekvas la statistikon de Bose-Einstein

$N(E)=3/(\exp(E/kT)-1)$

kie la faktoro 3 nombras la elektojn de polarizoj: unu longitudan, du transversajn.

Do la tuta energio $U(T)$ de aro de fononoj ĉe temperaturo $T$ estas

$U(T)=3\sum _{\mathbf {n} }^{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n_{\max }}{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}$

kie $n_{\max }$ priskribas la maksimuman frekvencon de sono. Ni uzas proksimumadon per anstataŭigi sumon per integralo:

$U=3\int _{n_{x},n_{y},n_{z}>0}^{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n_{\max }}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {n} \;{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}={\frac {3}{8}}\int _{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n_{\max }}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {n} \;{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}$.

Anstataŭigu $\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT\mapsto x$ kaj difinu la temperaturon de Debye $T_{\mathrm {D} }=n_{\max }hv/2Lk$:

$U(T)={\frac {3}{8}}kTn_{\max }^{3}(T/T_{\mathrm {D} })^{3}\cdot 4\pi \int _{0}^{T_{D}/T}{\frac {r^{3}}{\exp r-1}}={\frac {\pi }{2}}kTn_{\max }^{3}D_{3}(T_{\mathrm {D} }/T)$

kie $D_{3}$ estas la tria funkcio de Debye.

Fine, ni observu ke la tuta volumeno de la $\mathbf {n}$-spaco egalu la nombron $N$ de partikloj: ${\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi n_{\max }^{3}=N$. Do

$U(T)/N=3kTD_{3}(T_{\mathrm {D} }/T)$.

La sendimensia varmokapacito $C_{V}/Nk$ estas

$C_{V}/Nk={\frac {1}{Nk}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} T}}=3\left(4D_{3}(T_{\mathrm {D} }/T)-{\frac {3T_{\mathrm {D} }/T}{\exp(T_{\mathrm {D} }/T)-1}}\right).$

Ĉe temperaturo $T\ll T_{\mathrm {D} }$,

$C_{V}/Nk\approx {\frac {12\pi ^{4}}{5}}(T/T_{\mathrm {D} })^{3}$.

Ĉe temperaturo $T\gg T_{\mathrm {D} }$,

$C_{V}/Nk\approx 3$.

(Tiu ĉi estas la leĝo de Dulong–Petit.)

Funkcioj de Debye

La funkcioj de Debye $D_{n}(x)$ faciligas kalkulojn pri la modelo de Debye. Ili estas difinitaj jene:

$D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {d} \!s\;s^{n}}{\exp s-1}}$.

Ili verigas:

$D_{n}(0)=1$.

$\lim _{x\to \infty }D_{n}(x)x^{n}=n\zeta (n+1)n!$.

${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}D_{n}(x)={\frac {n}{\exp x-1}}-(n/x)D_{n}(x)$.

Tabelo de Temperaturoj de Debye de realaj solidoj

aluminio	428 K
arĝento	215 K
berilio	1440 K
cezio	38 K
fero	470 K
kadmio	209 K
karbono	2230 K
kromio	630 K
kupro	343.5 K
mangano	410 K
nikelo	450 K
oro	170 K
plateno	240 K
plumbo	105 K
silicio	645 K
stano (blanka)	200 K
tantalo	240 K
titano	420 K
volframo	400 K
zinko	327 K

Datenoj el Kittel 1996.

Referencoj

Vidu ankaŭ: Modelo de Einstein

• CRC Handbook of Chemistry and Physics, 56a eld. (1975–1976)
• Schroeder, Daniel V. An Introduction to Thermal Physics. San Francisco: Addison-Wesley, 2000. §7.5.
• Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics (7a eld.). John Wiley & Sons, 1996. ISBN 0-471-11181.
• Weisstein, Eric W. "Debye function", MathWorld.