Orientiĝo (matematiko)

Vidu ankaŭ en orientiĝo (solido).

En matematiko, orientiĝo sur reela vektora spaco estas elekto kies orditaj bazoj estas "pozitive" orientita (aŭ dekstro-mana) kaj kiu estas "negative" orientita (aŭ maldekstro-mana).

Difino

Estu V reela vektora spaco kaj estu b₁ kaj b₂ du orditaj bazoj) por V. Estas norma rezulto en lineara algebro, ke ekzistas unika lineara transformo A : V → V, kiu prenas b₁ al b₂. La bazoj b₁ kaj b₂ estas diritaj havi la saman orientiĝon (aŭ esti konsekvence orientita) se A havas pozitivan determinanton; alie ili havas kontraŭajn orientiĝoj. La propraĵo havi la saman orientiĝon difinas ekvivalentrilaton sur la aro de ĉiuj orditaj bazoj por V. Estas precize du ekvivalentklasoj difinitaj laŭ ĉi tiu rilato. orientiĝo sur V estas asigno de +1 al unu ekvivalentklaso kaj −1 al la alia.

Ĉiu ordita bazo loĝas en unu ekvivalentklaso aŭ alia. Tial iu ajn elekto de privilegia ordita bazo por V difinas orientiĝon: la orientiĝa klaso de la privilegia bazo estas deklarita esti pozitiva. Ekzemple, la norma bazo sur Rⁿ donas pligrandiĝon al norma orientiĝo sur Rⁿ. Iu ajn elekto de lineara izomorfio inter V kaj Rⁿ estos tiam elkovita orientiĝo sur V en evidenta maniero.

Notu, ke la ordigo de eroj en bazo estas grava. Du bazo kun malsama ordigo estos diferencita per iu permuto. Ili havos la samajn/kontraŭajn orientiĝojn laŭ tio ĉu la signumo de ĉi tiu permuto estas ±1. Tio estas ĉar la determinanto de permuta matrico estas egala al la signumo de la asociita permuto.

Nulo-dimensia okazo

La koncepto de orientiĝo difinita pli supre donas al la nulo-dimensia vektora spaco nur unu orientiĝon (ĉar la determinanto de la malplena matrico estas 1). Tamen, estas utile povi asigni malsamajn orientiĝojn al punkto (ekzemple orientado de rando de 1-dimensia sternaĵo). Alterna difino de orientiĝo, kiu funkcias sendistinge de dimensio estas jeno: Orientiĝo sur V estas mapo de la aro de orditaj bazoj de V al la aro $\{\pm 1\}$ kio estas invarianto sub bazo ŝanĝas kun pozitiva determinanto kaj ŝanĝas signo sub bazo ŝanĝas kun negativa determinanto. La aro de orditaj bazoj de la nulo-dimensia vektora spaco havas unu eron (la malplenan aron), kaj do, estas du mapoj de ĉi tiu aro al $\{\pm 1\}$.

Alternaj starpunktoj

Ni prezentu du alternajn (kaj pli abstraktajn) manierojn kompreni orientiĝojn:

1. Por iu ajn (reala, reela) vektora spaco V ni povas formi la k^{(th, -a)}-eksteraĵan potencon de V, signifis Λ^kV. Tio estas reela vektora spaco de dimensio duterma koeficiento n-elekti-k. La vektora spaco ΛⁿV (nomita kiel supra eksteraĵa potenco) pro tio havas dimension 1. Tio estas, ΛⁿV estas nure reela linio. Estas neniu apriora elekto kies direkto sur ĉi tiu linio estas pozitiva. Orientiĝo estas nure tia elekto. Iu ajn nenula ero ω de ΛⁿV difinas orientiĝon de V per tio deklari ω furori la pozitivan direkton. Por trakonekti kun la baza punkto de vido oni diras, ke la dekstrumaj bazoj estas tiuj sur kiuj ω komputiĝas al pozitiva nombro (ĉar ω estas n-formo ni povas komputi ĝin sur orda aro de n vektoroj, donante eron de R). La formo ω estas nomita orientiĝo-formo. Se {e_i} estas privilegia bazo por V tiam la orientiĝo-formo donanta la norman orientiĝon estas e₁∧e₂∧…∧e_n.

2. Lasu ke B estu la aro de ĉiuj orditaj bazoj por V. Tiam la ĝenerala lineara grupo Gl(V) agas libere kaj transitive sur B. (En reva lingvo, B estas Gl(V)-_torsor_). Tio signifas, ke kiel sternaĵo, B estas (nekanone) homeomorfa al Gl(V). Notu, ke la grupo Gl(V) estas ne koneksa, sed iom havas du koneksajn komponantojn laŭ tio ĉu la determinanto de la transformo estas pozitiva aŭ negativa. La identa komponanto de Gl(V) estas signifita Gl⁺(V) kaj konsistas el tiuj transformoj kun pozitiva determinanto. La ago de Gl⁺(V) sur B estas ne transitiva: estas du orbitoj kiuj konformas laŭ la koneksaj komponantoj de B. Tiuj orbitoj estas precize la ekvivalentklasoj menciitaj al pli supre. Ĉar B ne havas normalan ero (kio estas privilegia bazo), estas neniu natura elekto de tio kies komponanto estas pozitiva. Kontrastu tion kun Gl(V) kiu ja havas privilegian komponanton: la komponanto de la idento. Specifa elekto de homeomorfio inter B kaj Gl(V) estas ekvivalento al elekto de privilegia bazo kaj pro tio difinas orientiĝon.

Orientiĝo sur sternaĵoj

Oni povas ankaŭ diskuti orientiĝon sur sternaĵoj. Ĉiu punkto p sur n-dimensia diferencialebla sternaĵo havas tangentan spacon T_pM kiu estas n-dimensia (reala, reela) vektora spaco. Oni povas asigni al ĉiu el ĉi tiuj vektora spaca orientiĝon. Tamen, oni scivolus, ĉu ne oni povas elekti la orientiĝojn tiel ke ili "variu glate" de punkto al punkto. Oni povas ne povi fari ĉi tion; estas certaj topologiaj limigoj. Sternaĵo kiu konsentas glatan elekton de orientiĝoj por siaj tangentaj spacoj estas dirita al esti orientebla. Vidu la artikolon pri orientebleco por pli pri orientiĝoj de sternaĵoj.

Vidu ankaŭ

• Orientebleco
• Nememspegulsimetrieco
• Para kaj nepara permutoj