El Vikipedio, la libera enciklopedio
Plenigo de kvadrato estas tekniko de rudimenta algebro en kio esprimo
![{\displaystyle x^{2}+bx+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15eb27500aa5c24ed3a9199840d04086268f81d)
estas anstataŭigita per esprimo de la formo
![{\displaystyle (x+d)^{2}+e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc875a7fe5fe6eca607ca556ffc5731b6f98568)
Do:
![{\displaystyle {\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e916c21f28f0a16969be172dfa631b42085e204)
Plenigo de kvadrato plisimpligas esprimon engaĝantan plenan kvadratan polinomon al engaĝantan nur kvadraton kaj konstanton.
Simpla ekzemplo estas:
![{\displaystyle x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a6c7e42c3e3727f738d9f94304655eb01b3abf)
Nun, konsideru la problemon de trovo de malderivaĵo de ĉi tio:
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2079433b9473f9d3524225fa12c458b07c63bb3c)
La denominatoro estas
![{\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8abaa3ed9bdeb993be3727df590422676c4ac653)
Adicio de (10/2)2 = 25 al x2 - 10x donas perfektan kvadraton x2 - 10x + 25 = (x - 5)2. Do:
![{\displaystyle 9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73301fd7859595431e8c239fc550b946dd131a91)
Kaj la malderivaĵo estas
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54dc270d09bbd1d1ca4c68d4527c1445b729d4d)