Predikata logiko

Predikata logiko estas la ĝenerala termino por logiko-sistemoj, kiuj havas predikatojn por aserti ecojn de objektoj aŭ rilatojn inter objektoj, kaj kvantizantojn por esprimi ekzemple ke iun econ havas ĉiuj aŭ neniuj objektoj. Tiaj sistemoj permesas la formaligon de multaj specoj de argumentoj kaj tial ludas gravan rolon en la logiko, la matematiko, la komputoscienco, la lingvoscienco kaj la filozofio. Inter la sistemoj de predikata logiko troviĝas interalie la unua-nivela logiko, la dua-nivela logiko, plurspeca logiko kaj senfineca logiko.

Gottlob Frege kaj Charles Sanders Peirce elpensis la predikatan logikon sendepende unu de la alia. Frege formaligis sian sistemon en sia konceptoskribo de 1879.

Ĉefaj konceptoj

Predikata logiko estas etendiĝo de la Aristotela logiko. En la asertologiko oni analizas asertojn laŭ tio, el kiuj pli simplaj asertoj ili estas kunigitaj. Ekzemple, la aserto "Pluvas aŭ la tero estas plata" konsistas el la asertoj "Pluvas" kaj la aserto "la tero estas plata". Tiuj asertoj ne estas divideblaj en pluajn partajn asertojn – tial oni nomas ilin atomaj. En la predikata logiko oni analizas atomajn asertojn laŭ ilia interna strukturo.

Baza koncepto de la predikata logiko estas la predikato. Predikato estas sinsekvo de vortoj kun vakaj lokoj, kiu iĝas vera aŭ malvera aserto se oni enmetas propran nomon en ĉiun vakan lokon. Ekzemple "…  estas homo" estas predikato, ĉar per enmeto de propra nomo, ekzemple "Sokrato", oni kreas aserton, nome "Sokrato estas homo". La aserto "La tero estas plata" estas predikatlogike analizebla en la propran nomon "la tero" kaj la predikato "… estas plata". Anstataŭ propran nomon oni ankaŭ povas enmeti varianton en la predikaton, per kio la predikato iĝas frazo-funkcio: φ_(x)=„x estas homo“ estas funkcio, kiu redonas la valoron "vera" se x estas homo kaj la valoron "malvera" se x ne estas homo.

De la predikata koncepto estas kaŭzita la koncepto pri la kvantizanto. Kvantizantoj indikas, por kiom da objektoj iu frazo-funkcio alprenas la valoron "vera"- Kvantizanto ligas la varianton de frazo-funkcio, tiel ke ree estiĝas frazo. La universala kvantizanto asertas, ke iu predikato validas por ĉiuj objektoj. La ekzista kvantizanto asertas, ke predikato validas por almenaŭ unu objekto. La kvantizantoj ebligas asertojn kiel "Ĉiu homo estas besto" aŭ "Ekzistas almenaŭ unu rozkolora elefanto".

Pli altaj niveloj pri predikata logiko

Se la kvantizantoj rilatas nur la vakajn lokojn de predikatoj, do oni parolas pri predikata logiko de la unua nivelo (aŭ simple "unuanivela logiko"). Tiu nivelo estas iusence la norma nivelo pri la predikata logiko (Kial - mi klarigos sube en la temo "Decidebleco").

Tamen eblas permesi ankaŭ ke la kvantizantoj ne nur ligas la vakajn lokojn de predikatoj, do ne nur kvantizas pri objektoj, sed kvantizas ankaŭ pri predikatoj. Tiel eblas formaligi asertojn de la speco "Ekzistas predikato, kiu validas por Sokrato" aŭ "Por ĉiu predikato validas ke ĝi validas por Sokrato aŭ ĝi ne validas por Sokrato". Aldone al la unuanivelaj predikatoj oni tiel enkondukis duanivelajn predikatojn kiel "… validas por Sokrato", en kies vakajn lokojn oni enmetas ne nomojn de objektoj sed predikatojn. Simile oni povas enkonduki trianivelajn predikatojn, en kies vakajn lokojn oni enmetas duanivelajn predikatojn. Pli ĝenerale oni parolas pri plialtnivelaj predikatoj. Por la koncernaj logiko-sistemoj oni sekve uzas la esprimon predikata logiko de pli altaj niveloj aŭ simple plialtnivela logiko. Se oni permesas nur la duan nivelon sed ne la pli altajn, oni parolas pri duanivela logiko.

La formale plej simpla vastigo de la unuanivela logiko tamen konsistas el aldono de identeco-predikato. La sistemo tiam nomiĝas unuanivela logiko kun identeco. En plialtnivela logiko eblas difini la identecon, do oni ne bezonas aldoni ĝin al tiuj sistemoj, sed ĉe la unuanivela logiko ne eblas tia difino. Ofte oni emas limigi sin al la unuanivela logiko kun identeco, ĉar por ĝi ekzistas pli simplaj kaj plej grave tiel nomataj kompletaj kalkuloj, do kalkuloj en kiuj eblas pruvi ĉiun veran aserton esprimeblan per la lingvo de la sistemo

Decidebleco

Por la plialtnivela logiko ne ekzistas kompletaj kalkuloj.

Inverse eblas limigi la unuanivelan logikon, ekzemple permesi nur predikatojn kun unu argumento. La rezultanta sistemo – unuargumenta unuanivela logiko – havas la avantaĝon esti decidebla; tio signifas, ke ekzistas algoritmo, kiu por ĉiu aserto de la unuargumenta unuanivela logiko determinas en finhava tempo, ĉu ĝi estas valida aŭ ne

Nulnivela logiko

La nulnivela predikata logiko okazas Aristotela logiko. Ĝi certe estas decidebla

Pri neklasikaj difinoj pri predikata logiko

Paralele al la jam priparolitaj distingoj de predikatlogikaj sistemoj laŭ ilia nivelo ekzistas ankaŭ neklasikaj variaĵoj. Logika sistemo estas nomata klasika se validas la sekvaj du kondiĉoj:

• La sistemo estas duvalora, do ĉiu aserto estas aŭ vera aŭ malvera (principo de duvaloreco).
• La verovaloro de aserto, kiu estas kunigita el partaj asertoj per la ligiloj de la asertologiko, estas determinita de la verovaloroj de la partaj asertoj (etendaĵoprincipo).