Singulara punkto de kurbo

En matematiko, singulara punkto sur kurbo estas punkto kie ĝi estas ne glata, ekzemple, je kuspo.

La difino de singulara punkto dependas de speco de kurbo.

Implica kurbo en R² estas difinita kiel la nula aro f⁻¹(0) de glata funkcio f: R²→R. La kurbo estas algebra kurbo se la funkcio f estas polinoma funkcio. La singularaj punktoj estas tiuj punktoj sur la kurbo kie ambaŭ partaj derivaĵoj estas nulaj, do samtempe estas plenumataj tri kondiĉoj

f(x, y)=0

${\partial f(x,y) \over \partial x}=0$

${\partial f(x,y) \over \partial y}=0$

Parametrigita kurbo en R² estas difinita kiel bildo de funkcio

g: R→R², g(t) = (g₁(t), g₂(t))

La singularaj punktoj estas tiuj punktoj kie

${dg_{1} \over dt}=0$ kaj

${dg_{2} \over dt}=0$

Kuspo

Multaj kurboj povas esti difinitaj en ambaŭ manieroj, sed la du difinoj de singulara punkto povas ne koincidi. Ekzemple la kuspo povas esti difinita kiel algebra kurbo x³-y² = 0, aŭ kiel parametrigita kurbo g(t) = (t², t³). Ambaŭ difinoj donas singularan punkton je (0, 0). Tamen, punkto (0, 0) de algebra kurbo y²-x³-x² = 0 estas specialaĵo, sed se parametrigi ĝin kiel g(t) = (t²-1, t(t²-1)) do g'(t) nenie estas nula, kaj de ĉi tie (0, 0) ne estas specialaĵo de la parametrigita kurbo.

Ekzisto de specialaĵo dependas de parametrigo de la kurbo. Ekzemple rekto y=0 povas esti parametrigita kiel g(t) = (t³, 0) kiu havas specialaĵon je (0, 0). kaj parametrigita kiel g(t) = (t, 0) kiu havas neniun specialaĵon. De ĉi tie, estas pli korekte diri pri singulara punkto de glata surĵeto sed ne pri singulara punkto de kurbo.

La difinoj povas esti etenditaj al kurboj en pli altaj dimensioj.

Estas teoremo de Hassler Whitney: Ĉiu fermita aro en Rⁿ okazas kiel la solvaĵa aro f⁻¹(0) por iu glata funkcio f: Rⁿ→R.

Ĉiu parametrigita kurbo povas ankaŭ esti difinita kiel implica kurbo, kaj la klasifiko de singularaj punktoj de kurboj povas esti studita kiel klasifiko de singularaj punktoj de algebraj diversaĵoj.

Specoj de singularaj punktoj

Iu eblaj specialaĵoj (je (0, 0) en la ekzemploj) estas:

• Izolita punkto: x²+y² = 0
• Sinsekco - du linioj intersekciĝas: x²-y² = 0
• Kuspo: x³-y² = 0
• Kuspo de pli alta ordo: x⁵-y² = 0

Vidu ankaŭ

• Specialaĵa teorio
• Morsa teorio