Sistemo de linearaj ekvacioj

Sistemo de linearaj ekvacioj estas sistemo de ekvacioj, en kiu estas laŭvola nombro da linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.

Se estas m ekvacioj, en kiujn estas n variantoj, tiam oni povas prezenti en formo:

${\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}$

Skalaroj $a_{ij}$ nomiĝas koeficientoj de la sistemo, skalaroj $b_{i}$ nomaiĝas liberaj elementoj. Solvo de sistemo de ekvacioj estas n-opo de elementojn $(r_{1},r_{2},\dots ,r_{n})$ de kampo$K$ (al kiu apartenas koeficientoj kaj liberaj elementoj de la sistemo), kiuj post respektiva anstataŭigo per ili de $x_{i}$ igas la ekvaciojn de la sistemo validaj egalaĵoj.

Ĉefa matrico de sistemo

Ĉefa matrico estas matrico, kiujn elementojn estas koeficiento de sistemo

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$.

Dilata matrico de sistemo

Dilata matrico estas ĉefa matrico, kiu estas dilatata pri vertikala vektoro $(b_{1},b_{2},\dots ,b_{m})$:

$U=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right]=[A|B]$

Priskribo de matricoj de sistemo de linearaj ekvacioj

Ĉar koeficientoj de sistemoj de ekvacioj facile skribas per matricoj, tial oni uzas atributojn de matrica multipliko oni povas skribi sistemon de ekvacioj kiel:

$AX=B$

kie:

$A$ - ĉefa matrico,

$X$ - (vertikala) vektoro de variantoj $x_{i}$,

$B$ -(vertikala) vektoro de liberaj elementoj $b_{i}$.

do, oni povus solvi sistemo de linearaj ekvacioj, kiel:

$X={B \over A}$

se oni ekzistus divido de matricoj. Tamen oni scias ke divido de du elementoj de grupo estas multipliko de unue elemento kaj inverso de dua elemento, oni povas skribi:

$X=A^{-1}B$

(Rimarku!, ke $X=BA^{-1}$ ne estas korekta , ĉar multpliko de matricoj ne estas komuteca. )

Tipoj de sistemoj de linearaj ekvacioj

Sistemo de Kramero

Sistemo de Kramero estas sistemo n de linearaj ekvacioj (kun n variantoj), kiuj havas sekvan atributon:

$\det A\not =0$

Sistemo de Kramero havas nur strikte unu solvon, kiu estas difinata per formuloj de Kramero.

Homogena sistemo

Sistemo de ekvacioj estas homogena se ĉiuj liberaj elementoj de sistemo estas nuloj. Ekzemplo de homogena sistemo:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=0\,$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=0\,$

$\vdots \,$

$a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+...+a_{nn}x_{n}=0\,$

Atributoj de homogena sistemo:

• havas ĉiam nulan solvon.
• havas ne nulan solvon nur se vico de ĉefa matrico estas malpli ol n

Kvadrata sistemo

Se $n=m$ (nombro de variantoj egalas nombro de ekvacioj), tiam sistemo nomas kvadratan sistemon.

Se determinanto de ĉefa matrico ne estas nulo, tiam oni povas uzi formuloj de Kramero por solvi.

Se determinanto de ĉefa matrico estas nulo, tiam sistemo ne havas solvon aŭ havas infinite multe solvojn.

Signifas per $A_{i}$ matricojn, kiel sube:

$A_{i}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1\ i-1}&b_{1}&a_{1\ i+1}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2\ i-1}&b_{2}&a_{2\ i+1}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{n\ i-1}&b_{n}&a_{n\ i+1}&\dots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

• Se determinanto de ĉiuj matricoj $A_{i}$ estas nulo (kaj $\det A=0$), tiam sistemo havas infinite multe solvojn.
• Se almenaŭ unu el matricoj$A_{i}$ havas determinanton nenula, tiam sistemo ne havas solvojn.

Ortangula sistemo

Laŭvola sistemo:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\,$

$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2}\,$

$\vdots \,$

$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=b_{m}\,$

nomas ortagulan sistemon, kiam $m\not =n$.

Ekzemploj

$x+3y=2 \atop -2x+-6y=-4$ ${\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&a_{13}x_{3}&+&\dots &+&a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&a_{23}x_{3}&+&\dots &+&a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\a_{31}x_{1}&+&a_{32}x_{2}&+&a_{33}x_{3}&+&\dots &+&a_{3n}x_{n}&=b_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+&a_{m2}x_{2}&+&a_{m3}x_{3}&+&\dots &+&a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}\end{cases}}$

Vidu ankaŭ

• Metodo de Gaŭso
• Teoremo de Kronecker-Capellego