Skalarpotencialo

Skalarpotencialo en matematiko, aparte en vektora kalkulo, estas skalara kampo kies gradiento estas vektora kampo

Difino

Konsidere al certa vektora kampo ${\vec {F}}:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R} ^{k}$ , la skalarpotencialo estas frakcio $\Phi :\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$ tia ke

\nabla \Phi ={\vec {F}}

nome gradiento de $\Phi \,\!$ estas la sama kampo.
Se la gradiento ekzistas, la vektora kampo estas dirata konservativa.

La komponantoj de ${\vec {F}}$ , en tridimensia kazo, estas:

F_{x}(x,y,z)=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}(x,y,z)

F_{y}(x,y,z)=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}(x,y,z)

F_{z}(x,y,z)=-{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}(x,y,z)

aŭ partaj derivaĵoj de la potencialo rilate al variablo x, y kaj z. Per integro de ambaŭ membroj de ĉiu ekvacio de la sistemo kreiĝas sistemo de diferencialaj ekvacioj kiuj havas, kiel solvon, klason de difinitaj skalartipaj funkcioj de konstanto “C”.

Gravita potencialo

Laŭ la leĝo de universala gravito de Newton, la gravita kampo estigita de punktoforma korpo je maso “M”, kiun pro simpleco oni konsideru poziciita en la origino de la karteziaj koordinatoj, estas: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$

kie “r” estas la eŭklidea modulo de r, dum G estas la gravita konstanto.

Tial la potencialo (po ĉiumasa unuo) havas la esprimon:

$U(\mathbf {r} )={\frac {GM}{r}}+C$

Pro konvencio la adicia konstanto C estas konsiderita egala al nulo: per tio estas fiksata la ĉirkaŭa adicio por ke la potencialo nuliĝu per “r” tendenca al senfino (tendencas, male, al senfino per “r” tendenca al nulo).

Kiam oni prikonsideras limigitan regionon proksime de tera surfaco, la gravita kampo de la Tero estas alproksimebla per konstanta vektoro vertikale direktita al malsupro. Tiakaze la esprimo de la potencialo estas: $U(z)=gz+C\$

kie g estas la valoro de gravita akcelo al la tera surfaco, egala al ĉirkaŭ 9.8 m s⁻². La konstanto “C” estas determinita fiksante referencan qvoton en ĉiu la potencialo estas nula.

Elektra potencialo

La elektra kampo estas devenigita el elektra potencialo, difinita kiel la valoro de la potenciala energio evidentigita per pozitiva elektra ŝarĝo lokigita en spaca punkto. La potenciala energio de la ŝarĝo estas la nivelo de la energio kiun la ŝarĝo posedas pro sia pozicio ene de la elektra kampo; tial la elektra potencialo de la porpruva ŝarĝo estas la rilatumo inter la elektra potencialo kaj la valoro de la sama ŝarĝo, nome:

\operatorname {V} ={\frac {U}{q}}

Formale ĝi estas priskribita tiel: $\mathbf {E} _{0}=-gradV_{0}=-\nabla V_{0}$

kie $\mathbf {E} _{0}$ estas la elektra kampo. La mezurunuo de elektra potencialo estas volt: inter la du punkton A kaj B de iu spaca regiono sidejo de elektra kampo estas diferenco de potencialo de 1 volt se la elektra forto plenumas laboron de 1 J por porti ŝarĝon de 1 el A al B.

Vidu ankaŭ