Tordopendolo

En fiziko, tordopendolo estas aparato, kiu konsistas el unu horizontala stangeto, pendigita al kadro per tordo fadeno aŭ tordo drato. Ŝtalodrato kreas revenigan momanton de forto, proporcie al la altrudita tordoangulo $\theta _{a}\,$ :

\Gamma _{C}=-C\theta _{a}\,,

kie C estas la tordokonstanto de la drato (inverse proporcia al ĝia longo).

Sur la stangeto, oni povas poziciigi simetrie du globetojn, por modifi la inercimomanton.

Modelo sen frotado

Kiam oni liberigas la instrumenton malantaŭ ke oni altrudis angulon for de la ekvilibra pozicio en la horizontala ebeno, la stango oscilos en tiu ebeno. Laŭ taŭgaj proksimumoj, la periodo ne dependas de la altrudita angulamplitudo: tiaj osciladoj estas priskribitaj kiel izokronoj (t.e. konstanta periodoT, kiaj ajn estas amplitudoj); la sekvanta formulo permesas kalkuli ĝin:

T=2\pi {\sqrt {\frac {J}{C}}}\ ,

kie J estas la inercimomanto de la stangeto ekipita de globetoj.

Tiu simpligita formulo devenas de la diferenciala ekvacio pri la movado, ĝi rezultas de la teoremo de la kineta momanto aŭ de la konservado de la mekanika energio, kiam frotoj nekonsiderindas.

Se $\theta \$ estas la tordoangulo de la drato, la diferenciala ekvacio estas:

J{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+C\theta =0\ ,

la ideala tordopendolo estas konsiderita kiel harmona oscilo, ĉar la solvo de la angulo laŭ la tempo estas pura sinusa formo:

\theta =\theta _{a}\sin \left({\sqrt {\frac {C}{J}}}\ t+\phi \right)\ ,

$\phi \$ estas angulo dependante de la origino de polusa koordinato.

Modelo kun frotado

Se oni volas konsideri perturbojn kiujn ĉirkaŭaj fluidoj kaŭzas per frotado (ekzemple tiu de aero), taŭgas la modelo pri vikozajoj al malaltaj rapidoj; tiel la frotaj fortoj kreas kontraŭan momanton proporcie kun la rapido:

\Gamma _{f}=-f{\frac {d\theta }{dt}}\ .

La ekvacio de la movado tial skribiĝas:

J{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+f{\frac {d\theta }{dt}}+C\theta =0\ .

La solvo de tiu ekvacio estas:

\theta =\theta _{a}e^{-{\frac {f}{2J}}}\sin \left(\left[{\sqrt {{\frac {C}{J}}-{\frac {f^{2}}{4J^{2}}}}}\,\right]\ t+\phi \right)\ ,

Tiam, la osciloj de movado estas iom post iom amortizitaj, ĝis la stabila ekvilibra pozicio okazas.

La amotizkoeficiento egalas al ${\frac {f}{2J}}$ , la periodo, kiu estas konstanto (do ankoraŭ izokrona oscilado laŭ la ĉi sube teoria ekvacio), egalas al:

T=2\pi /{\sqrt {{\frac {C}{J}}-{\frac {f^{2}}{4J^{2}}}}}\ ,

Tamen la amplitudoj ne konstantas, ili eksponente malkreskas; tiaj osciladoj estas priskribitaj kiel pseŭdoperiodaj.

Konsideru nun frotadon de solidoj (ekzemple frotoj de la du globetoj sur ĉirkaŭa cilindro); laŭ la leĝo de Coulomb pri mekaniko, la kineta frota forto F_k ne dependas de la rapido, sed la laboro de tiu forto transformiĝas en varmon, kiu do proporcias al tempo; la ekvacio de la movado tial skribiĝas:

J{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\pm Kt+C\theta =0\

la signo $\pm$ estas pozitiva aŭ negativa laŭ la kontraŭa signo de $\theta$ . La solvo de tiu ekvacio estas:

\theta =\theta _{a}\sin \left({\sqrt {\frac {C}{J}}}\ t+\phi \right)\mp {\frac {K}{C}}\ t\ .

La amplitudoj malkreskas lineare laŭ la tempo, tiaj osciladoj estas ankaŭ pseŭdoperiodaj.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligoj