Tuteca derivaĵo

En matematiko, tie en diferenciala kalkulo, tuteca derivaĵo de funkcio f de kelkaj variabloj estas ĝia derivaĵo kun respekto al unu variablo, de kiu aliaj variabloj estas konsiderataj interdependaj. Tiu variablo, kun respekto al kiu estas prenata la derivaĵo, povas ne esti rekta argumento de la funkcio.

En kalkulo de la parta derivaĵo, oni konsideras la derivaĵon kun respekto al nur unu de ĉiuj variabloj - la aliaj estas supozitaj konstantaj. Kontraŭe en kalkulo de la tuteca derivaĵo, oni ne antaŭjuĝas, ke la aliaj argumentoj estas konstantaj; anstataŭe la aliaj argumentoj variiĝas depende.

Estu funkcio f(x₁, ..., x_n).

Tiam la tuteca derivaĵo de f kun respekto al x_i estas

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x_{i}}}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{i-1}}}{\frac {\operatorname {d} x_{i-1}}{\operatorname {d} x_{i}}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{i+1}}}{\frac {\operatorname {d} x_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i}}}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {\operatorname {d} x_{n}}{\operatorname {d} x_{i}}}$

La tuteca derivaĵo de f kun respekto al t estas

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} t}}+\ldots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {\operatorname {d} x_{n}}{\operatorname {d} t}}$

En okazo de funkcio f(x) de unu variablo x, ĉi tio reduktiĝas al la ĉena regulo por funkcio de unu variablo:

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}$

Ekzemplo

Supozu, ke f estas funkcio de tri variabloj x, y kaj z. Normale ĉi tiuj variabloj estas konsideritaj esti sendependaj. Tamen, en iuj situacioj ili povas dependi unu de la alia. Ekzemple, y kaj z povas esti funkcioj de x. En ĉi tiu okazo, la parta derivaĵo de f kun respekto al x ne donas la veran valoron de ŝanĝo de f kun respekto al x, ĉar ĝi ne enkalkulas la dependecon de y kaj z de x. La tuteca derivaĵo estas maniero de enkalkulo de ĉi tiaj dependecoj.

Ekzemple supozu, ke f(x, y, z) = xyz. La ŝanĝo de f kun respekto al x estas normale difinita per prenanto de la parta derivaĵo de f kun respekto al x, kiu estas, en ĉi tiu okazo, ∂f/∂x = yz. Tamen, se y kaj z estas ne vere sendependaj kaj dependas de x, ĉi tiu rilato ne donas la ĝustan respondon. Supozu ekzemple ankaŭ, ke y=x kaj z=x. Tiam f = xyz = x³ kaj tiel la tuteca derivaĵo de f kun respekto al x estas df / dx = 3x². Rimarku, ke ĉi tiu rezulto estas ne egala al la parta derivaĵo yz =x². Aŭ eblas kalkuli precize laŭ la formulo donita pli supre. Pri f(x, y, z) = xyz estas:

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=yz+xz{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+xy{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}$

Pro tio, ke y=x kaj z=x , do ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=1$ , kaj do rezultiĝas

${\frac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}=yz+xz\cdot 1+xy\cdot 1=3x^{2}\ .$

Vidu ankaŭ

• Diferencialo
• Parta derivaĵo
• Parta diferenciala ekvacio

Eksteraj ligiloj

• (angle) Tuteca derivaĵo Arkivigite je 2008-10-06 per la retarkivo Wayback Machine