Unuflanka limeso

En infinitezima kalkulo, unuflanka limeso estas iu el la du limesoj de funkcio f(x) de reela variablo x, kiam x proksimiĝas al donita valoro de pli sube aŭ de pli supre. Ĝi estas skribata kiel:

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)$ aŭ $\lim _{x\uparrow a}f(x)$

por la limeso kiel x proksimiĝas al a de pli sube, kaj ĉiam x < a; kaj simile

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)$ aŭ $\lim _{x\downarrow a}f(x)$

por la limeso kiam x proksimiĝas al a de pli supre, kaj ĉiam x > a.

La limeso de f(x) kiam x proksimiĝas al a ekzistas se kaj nur se la du unuflankaj limesoj ekzistas kaj estas egalaj. En iuj okazoj en kiuj la limeso

$\lim _{x\to a}f(x)$

ne ekzistas, la du unuflankaj limesoj tamen ekzistas. La limeso kiam x proksimiĝas a estas iam nomata kiel duflanka limeso.

En iuj okazoj unu el la du unuflankaj limesoj ekzistas kaj la alia ne ekzistas, kaj en iu okazoj neniu el ili ekzistas.

La unuflanka limeso al punkto koincidas kun ĝenerala difino de limeso se domajno de la funkcio estas ĉe la punkto nur je unu flanko.

Ekzemploj

Ekzemplo 1 de funkcio kun malsamaj unuflankaj limesoj estas ${\frac {1}{1+2^{-1/x}}}$:

$\lim _{x\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=1$

kaj

$\lim _{x\rightarrow 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0$

Ekzemplo 2, la funkcio estas difinita per apartaj esprimoj

Ekzemplo 2

$f(x)={\begin{cases}x^{2},&x<3\\11-(x-3)^{2},&x>3\end{cases}}$

Tiam:

$\lim _{x\to 3^{-}}f(x)=9$

$\lim _{x\to 3^{+}}f(x)=11$

Ekzemplo 3:

$f(x)={\frac {x}{|x|}}$

Tiam:

$\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-1$

$\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1$

Ekzemplo 4:

$f(x)={\frac {x(x-1)}{(x-1)}}$

Tiam:

$\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=1$

$\lim _{x\to 1^{+}}f(x)=1$

kaj la duflanka limeso ekzistas

$\lim _{x\to 1}f(x)=1$

Abela teoremo

Notinda teoremo traktanta unuflankaj limesoj de certa potencoserio je la randoj de iliaj intervaloj de konverĝo estas abela teoremo.

Vidu ankaŭ

• Limeso
• Abela teoremo
• Reela projekcia linio

Eksteraj ligiloj

• Unuflanka limeso en PlanetMath.