Variada kalkulo

Kalkulo de variadoj estas kampo de matematiko kiu okupiĝas pri trovado de ekstremumaj funkcioj de funkcionaloj. La ekstremumaj funkcioj estas tiuj ĉe kiuj donita funkcionalo atingas maksimuman aŭ minimuman valoron. Ĉi tiuj funkcionaloj kutime estas integraloj engaĝantaj nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn. Tiel kalkulo de variadoj rilatas al funkcionaloj same kiel ordinara infinitezima kalkulo rilatas al funkcioj.

Unu el la plej simplaj ekzemploj de ĉi tia problemo estas trovado de kurbo kiu estas la plej mallonga konekto de du punktoj. Se ne estas limigoj, la solvaĵo estas evidente rekta streko inter la punktoj. Tamen, se la kurbo estas limigita al kuŝi sur surfaco en spaco, la solvaĵo estas malpli evidenta, kaj eble multaj malsamaj samlongaj solvaĵoj povas ekzisti. Ĉi tiaj solvaĵoj estas la geodeziaj kurboj. Rilatanta problemo estas afektita per principo de Fermat en optiko: lumo sekvas la vojon de plej mallonga optika longo konektanta la du punktojn, kie la optika longo dependas de la materialo tra kiu iras la lumo. Unu respektiva koncepto en mekaniko estas la principo de plej malgranda ago.

Multaj gravaj problemoj engaĝas funkciojn de kelkaj variabloj. Solvaĵoj de randaj valoraj problemoj por la laplaca ekvacio kontentigas la principon de Dirichlet. Problemo de Plateau postulas trovadon de surfaco de minimuma areo kiu havas donitan randon en spaco; eksperimente la solvaĵoj povas troviĝi per drata konturo kaj sapa solvaĵo. Povas esti pli ol unu loke minimumiganta surfaco, kaj ili povas havi ne simplajn topologiojn.

Malforta kaj forta ekstremumoj

Funkcionalo J(y) difinita sur iu konvena spaco de funkcioj V kun normo || · ||_V havas malfortan ekstremumon je funkcio y₀ se ekzistas iu δ>0 tia ke por ĉiuj funkcioj y kun

$\|y-y_{0}\|_{V}<\delta$

J(y₀)-J(y) havas la saman signon. Tipe, V estas spaco de r fojojn kontinue diferencialeblaj funkcioj sur kompakta subaro E de la reela linio, kun la normo donita per

$\|y\|_{V}=\sum _{n=0}^{r}\sup\{y^{(n)}(x):x\in E\}$

Ĉi tiu normo estas sumo de precizaj supraj randoj de y kaj ĝiaj derivaĵoj.

Funkcionalo J havas fortan ekstremumon je y₀ se J(y₀)-J(y) havas la saman signon por ĉiuj funkcioj en δ-najbaraĵo de y₀ en la preciza supra randa normo por kontinuaj funkcioj, sendepende de tio kiu normo || · ||_V por la spaco estas donita. La preciza supra randa normo por reelaj kontinuaj funkcioj sur topologia spaco X estas difinita kiel

$\|y\|=\sup\{y(x):x\in X\}$

Se y₀ estas forta ekstremumo por J tiam ĝi estas ankaŭ malforta ekstremumo, sed la malo povas ne esti vera. Trovado de forta ekstremumo estas kutime pli malfacila ol trovado de malforta ekstremumo. Pli sube estas konsiderata trovado de la malfortaj ekstremumoj.

Ambaŭ malforta ekstremumo kaj forta ekstremumo estas fakte lokaj ekstremumoj.

Ekvacio de Eŭlero-Lagrange

Sub idealaj kondiĉoj, la maksimumoj kaj minimumoj de donita funkcio povas esti trovitaj per trovo de punktoj kie ĝia derivaĵo estas nula. Analoge, solvaĵoj de glata variada problemo povas esti ricevitaj per solvado de la asociita ekvacio de Eŭlero-Lagrange. Por ke ilustri ĉi tiun procezon, konsideru problemon de trovado de la plej mallonga kurbo en la ebeno kiu konektas du punktoj (x₁, y₁) kaj (x₂, y₂).

La kurbo estu y=f(x) kun f(x₁)=y₁ kaj f(x₂)=y₂.

La arka longo estas donita per

$A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

kie

$f'(x)={\frac {df}{dx}}$

La funkcio f devas havi almenaŭ unu derivaĵon por ke kontentigi la postulojn por valida apliko de la funkcio, plu, se f₀ estas loka minimumo kaj f₁ estas ajna funkcio kiu egalas al nulo je la finaj punktoj x₁ kaj x₂ kaj kun almenaŭ unu derivaĵo, tiam

$A[f_{0}]\leq A[f_{0}+\epsilon f_{1}]$

por ĉiu nombro ε proksime al 0. Pro tio, la derivaĵo de $A[f_{0}+\epsilon f_{1}]$ kun respekto al ε (la unua variado de A) devas strebi al nulo kiam ε strebas al nulo. Tial

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\,dx=0$

por ĉiu elekto de la funkcio f₁. Oni povas interpreti ĉi tiu kondiĉon kiel la nuliĝo de ĉiuj direktaj derivaĵoj de A[f₀] en la spaco de diferencialeblaj funkcioj, kaj ĉi tiu estas formaligita per postulo de tio ke la derivaĵo de Fréchet de A nuliĝas je f₀. Se preni ke f₀ havas du kontinuaj derivaĵoj (aŭ se konsideri malfortajn derivaĵojn), tiam eblas uzi popartan integraladon:

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx$

kun la anstataŭo

$u(x)={\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}},\quad v'(x)=f_{1}'(x)$

rezultiĝas

$\left[u(x)v(x)\right]_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0$

La unua termo estas nulo ĉar v(x)=f₁(x) nuliĝas je x₁ kaj x₂. Pro tio,

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x){\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]\,dx=0$

por ĉiu dufoje diferencialebla funkcio f₁ kiu nuliĝas je la finpunktoj x₁ kaj x₂. Ĉi tio estas speciala okazo de la fundamenta lemo de kalkulo de variadoj:

$I=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}(x)H(x)\,dx=0$

por ĉiu diferencialebla funkcio f₁(x) kiu nuliĝas je la finpunktoj de la intervalo. Pro tio ke f₁(x) estas ajna funkcio en la integralada limigo, oni konkludas ke H(x) = 0. Pro tio,

${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f_{0}'(x)}{\sqrt {1+[f_{0}'(x)]^{2}}}}\right]=0$

El ĉi tiu ekvacio sekvas ke

${\frac {d^{2}f_{0}}{dx^{2}}}=0$

kaj de ĉi tie la ekstremumaj funkcioj estas rektoj.

Simila kalkulo veras en la ĝenerala okazo kie

$A[f]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,f,f')\,dx$

kaj f estas postulita al havi du kontinuajn derivaĵojn. Denove, oni trovas ekstremumojn f₀ per preno ke $f=f_{0}+\epsilon f_{1}$, preno de derivaĵo kun respekto al ε, kaj poste preno de ε=0:

${\begin{aligned}\left.{\frac {dA}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}f_{1}+{\frac {\partial L}{\partial f'}}f'_{1}\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}f_{1}-f_{1}{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}f_{1}\right|_{x_{1}}^{x_{2}}\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f_{1}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\&=0\end{aligned}}$

kie estas uzata la ĉena regulo en la dua linio kaj poparta integralado en la tria. Same kiel antaŭe, la lasta termo en la tria linio estas nula pro elekto de f₁. Fine, laŭ la fundamenta lemo de kalkulo de variadoj, oni trovas ke L kontentigas ekvacion Eŭlero-Lagrange:

$-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}+{\frac {\partial L}{\partial f}}=0$

Ĝenerale ĉi tio donas ordinaran diferencialan ekvacion de la dua ordo kiu povas esti solvita por ricevi la ekstremuman f. La ekvacio de Eŭlero-Lagrange estas necesa sed ne sufiĉa kondiĉo por la ekstremumo.

Vojo de lumo kaj principo de Fermat

Kalkulo de variadoj povas esti uzata por trovi vojon de lumo. Principo de Fermat statas ke lumo iras laŭ vojo kiu loke minimumigas optikan longon inter la finpunktoj. Se la x-koordinato estas elektita kiel parametro laŭ la vojo, kaj y=f(x) laŭ la vojo, tiam la optika longo estas

$A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx$

kie la refrakta indico n(x, y) dependas de la materialo en ĉiu punkto.

Oni provu $f(x)=f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x)$, tiam la unua variado de A (la derivaĵo de A je ε) estas

$\delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}\right]dx$

Post poparta integralado de la unua termo en krampoj, rezultiĝas la ekvacio de Eŭlero-Lagrange

$-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0})=0$

La vojo de lumo povas esti difinita per integralado de ĉi tiu ekvacio.

Leĝo de Snell

Estas nekontinueco de la refrakta indico je surfaco de lenso aŭ la alia objekto farita el materialo kun malsama refrakta indico. Estu la refrakta indico n(x, y) difinita kiel

n(x, y) = n_- por x<0

n(x, y) = n₊ por x>0

kie n_- kaj n₊ estas konstantoj. Tiam la ekvacio de Eŭlero-Lagrange veras kiel antaŭe en la regionoj x<0 kaj x>0, kaj fakte la vojo estas rekto en ĉiu aparta regiono ĉar la refrakta indico estas konstanto. Je x=0, f devas esti kontinua, sed f' povas esti nekontinua. Post poparta integralado en la apartaj regionoj kaj uzante la ekvacion de Eŭlero-Lagrange, la unua variado prenas formon

$\delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{-}{\frac {f_{0}'(0_{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{-})^{2}}}}-n_{+}{\frac {f_{0}'(0_{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0_{+})^{2}}}}\right]$

La faktoro ĉe n_- estas la sinuso de angulo de la radio kun la x-akso (kiu estas orta al surfaco disdividanta volumenojn kun malsamaj refraktaj indicoj), kaj la faktoro ĉe n₊ estas la sinuso de angulo de la refraktita radio kun la x-akso. Vojo de la lumo estas tia ke nuliĝas la unua variado de la optika voja longo, kio tuj donas la leĝon de Snell por refrakto, kiu statas ke ĉi tiuj termoj estu egalaj.

Vidu ankaŭ

• Funkcionala analitiko
• Perturbaj manieroj
• Variada principo
• Malfinidimensia optimumigo
• Ekvacio de Eŭlero-Lagrange
• Fundamenta lemo de kalkulo de variadoj
• Lagranĝa mekaniko
• Samperimetra neegalaĵo
• Principo de Fermat
• Principo de plej malgranda ago
• Optimuma regado

Eksteraj ligiloj

• Kalkulo de variadoj en PlanetMath.
• Eric W. Weisstein, Kalkulo de variadoj en MathWorld.
• [1] Arkivigite je 2006-03-11 per la retarkivo Wayback Machine Johan Byström, Lars-Erik Persson, kaj Fredrik Strömberg. Ĉapitro III: Enkonduko al la kalkulo de variadoj.
• Kalkulo de variadoj Arkivigite je 2017-06-09 per la retarkivo Wayback Machine, ekzemplaj problemoj.
• Ĉapitro 8: Kalkulo de Variadoj Arkivigite je 2007-09-11 per la retarkivo Wayback Machine, de Optimumigo por inĝenieradaj sistemoj Arkivigite je 2007-07-05 per la retarkivo Wayback Machine, de Ralph W. Pike, Luiziana Universitato.