Eŭlera formulo

Ĉi tiu artikolo estas pri eŭlera formulo en kompleksa analitiko. Por eŭlera formulo en algebra topologio kaj pluredra kombinatoriko vidu en eŭlera karakterizo.

---

En matematiko, eŭlera formulo, estas idento en kompleksa analitiko, kiu donas interrilaton inter la trigonometriaj funkcioj kaj kompleksa eksponenta funkcio. Ĝi asertas, ke por ĉiu kompleksa nombro x,

e^ix = cos x + i sin x

kie e estas la bazo de la naturaj logaritmoj,

i estas la imaginara unuo,

cos kaj sin estas la trigonometriaj funkcioj kosinuso kaj sinuso, kun la argumento x en radianoj.

La formulo estas ankoraŭ valida, se x estas ajna kompleksa nombro, kvankam la originala eŭlera formulo temas pri reela x.

Pruvo

La originala pruvo estas bazita sur la serio de Taylor de la eksponenta funkcio e^z (kie z estas kompleksa nombro) kaj de sin x kaj cos x por reelaj nombroj x. Fakte, la sama pruvo montras ke la eŭlera formulo veras por ĉiu kompleksa z.

$e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

kaj

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x$

${\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Tiel e^ix = cos x + i sin x.

Konsekvencoj

Geometria interpretado de eŭlera formulo

Ĉi tiu formulo povas esti interpretita kiel tio ke valoro de funkcio e^ix desegnas la unuocirklon en la kompleksa ebeno kiam x ŝanĝiĝas tra la reelaj nombroj. Ĉi tie, x estas la angulo inter linio konektanta la punkton sur la unua cirklo kun punkto z=0 kaj la pozitiva reela akso, mezurita en radianoj tiel ke laŭhorloĝnadla direkto estas pozitiva.

Kompleksa nombro respektivas al punkto en la kompleksa ebeno kiu kutime estas prezentita en karteziaj koordinatoj. Eŭlera formulo provizas konvertiĝon al la polusaj koordinatoj. Tiel ĉiu kompleksa nombro z = x+iy povas esti skribita kiel

$z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }$

kie x = Re(z) - la reela parto

y = Im(z) - la imaginara parto

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ la modulo de z

φ = atan2 (y, x) - la argumento - la angulo priskribita pli supre

Ĝia kompleksa konjugito estas tiam

${\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }$

Per ĉi tiu formulo, oni povas difini la logaritmon de kompleksa nombro. Logaritmo estas la inversa funkcio de potencigo tiel ke por ĉiu kompleksa a

$a=e^{\ln(a)}$

Pro tio ke

$e^{a}e^{b}=e^{a+b}\,$

por ĉiu kompleksaj a kaj b rezultiĝas

$z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}e^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }\,$

por ĉiu nenula z. Preno de la logaritmo de ambaŭ flankoj montras ke:

$\ln z=\ln |z|+i\phi \,$

kaj fakte ĉi tiu povas esti uzata kiel difino por la kompleksa logaritmo. La logaritmo de kompleksa nombro estas tial multvalora funkcio, ĉar φ estas multvalora:

$\ln z=\ln |z|+i\phi =\ln |z|+i(\phi +2k\pi )\,$, k estanta entjero.

En trigonometrio

Eŭlera formulo provizas prezentojn de la sinuso kaj kosinuso por ĉiu kompleksa x per eksponentoj:

$\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}$

$\sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}$

Ĉi tiuj du identoj pli supre povas esti derivitaj per adicio aŭ subtraho de du ekzempleroj de eŭlera formulo:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\;$

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;$

kaj solvado por kosinuso aŭ sinuso.

Ĉi tiuj formuloj povas eĉ servi kiel difinoj de sinuso kaj kosinuso por kompleksaj argumentoj x. Se preni x = iy rezultiĝas formuloj pri rilato de kosinuso kaj sinuso al hiperbola kosinuso kaj hiperbola sinuso:

$\cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y)$

$\sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-i\sinh(y)$

Por reela x estas:

cos x = Re(e^ix)

sin x = Im(e^ix)

Leĝo pri eksponenta funkcia

$(e^{a})^{k}=e^{ak}$

kiu veras por ĉiu entjera k kune kun la eŭlera formulo implicas kelkajn trigonometriajn identojn kaj formulon de de Moivre.

Aplikoj

En diferencialaj ekvacioj, la funkcio e^ix estas ofte uzata por plisimpligi derivaĵoj, eĉ se la fina respondo estas reela funkcio kun sinuso kaj kosinuso.

En elektrotekniko kaj aliaj kampoj, signaloj kiuj ŝanĝiĝas periode kun tempo estas ofte priskribitaj kiel kombinaĵo de sinusa kaj kosinusa funkcioj (vidu en analitiko de Fourier), kaj ilin estas oportune esprimi kiel reela parto de kompleksaj eksponentaj funkcioj.

Historio

Eŭlera formulo estis pruvita unuafoje de Roger Cotes en 1714 en formo

ln(cos x + i sin x) = ix

kie "ln" estas natura logaritmo, kun bazo e.

Eŭlero publikigis la identon en ĝia aktuala formo en 1748, kun lia pruvo surbaze de egaleco de la malfiniaj serioj de ambaŭ flankoj.

Neniu el ili vidis la geometrian interpreton de la formulo, ĉar la prezento de kompleksaj nombroj kiel punktoj sur la kompleksa ebeno aperis nur post 50 jaroj dank' al Caspar Wessel.

Vidu ankaŭ

• Trigonometriaj funkcioj
• Eksponenta funkcio
• Eŭlera idento - specifa okazo de la eŭlera formulo por x=π
• Kompleksa nombro
• Potencigo

Eksteraj ligiloj

• Pruvo de eŭlera formulo Arkivigite je 2005-11-04 per la retarkivo Wayback Machine de Julius O. Smith III
• Eŭlera formulo kaj lasta teoremo de Fermat
• Modulo de kompleksa eksponenta funkcio de John H. Mathews
• Eroj de algebro Arkivigite je 2011-04-13 per la retarkivo Wayback Machine
• Vida prezento de eŭlera formulo