Neŭtrala elemento (matematiko)

Neŭtrala elemento en algebro estas elemento de magmo (t.e. aro kun duvalenta operacio), por kiu la rezulto de la operacio kun ĉiu elemento ne modifas la valoron de tiu elemento.

Difino

Estu $(S,\star )$ magmo, t.e. aro $S$ kun interna duvalenta operacio $\star$. Elemento $e$ estas neŭtrala elemento, se ĝi plenumas jenajn kondiĉojn:

• $\forall _{a\in S}\;e\;\star \;a=a$,
• $\forall _{a\in S}\;a\;\star \;e=a$.

Se elemento plenumas nur la unuan (respektive la duan) el tiuj ĉi du kondiĉoj, ĝi nomiĝas maldekstra (respektive dekstra) neŭtrala elemento.

Se la notacio por la operacio estas adicia (respektive multiplika), la neŭtrala elemento kutime nomiĝas nulo (respektive unuo). Tia distingo estas uzata plej ofte por algebraj strukturoj, kiuj havas kaj multiplikon, kaj adicion: ekzemple, ringoj aŭ semiringoj.

Ekzemploj

aro	operacio	neŭtrala elemento
reelaj nombroj	+ (adicio)	0
reelaj nombroj	• (multipliko)	1
n-per-n kvadrataj matricoj	+ (adicio)	nula matrico
n-per-n kvadrataj matricoj	• (multipliko)	identa matrico
ĉiuj funkcioj de aro M al si	funkcia komponaĵo	identa funkcio
tekstaj linioj	kunmeto	malplena linio
nur du elementoj {e, f}	* difinita per e * e = f * e = e kaj f * f = e * f = f	kaj e, kaj f estas maldekstraj neŭtralaj elementoj, sed dekstra aŭ duflanka neŭtrala elemento ne ekzistas

Ecoj

Kiel montras la lasta ekzemplo, eblas por (S,*) havi kelkajn maldekstrajn neŭtralajn elementojn. Fakte, ĉiu elemento de magmo povas esti maldekstre neŭtrala. Simile, povas esti pluraj dekstraj neŭtralaj elementoj. Tamen se estas almenaŭ unu dekstra neŭtrala elemento kaj almenaŭ unu maldekstra neŭtrala elemento, tiam ili estas egalaj, kaj do ekzistas unusola duflanka neŭtrala elemento. Por vidi ĉi tion, notu, ke se e estas maldekstra kaj f estas dekstra neŭtralaj elementoj, tiam e = e * f = f. Do, ne povas ekzisti pli ol unu duflanka neŭtrala elemento.

Vidu ankaŭ

• Inverso
• Kontraŭegalo
• Grupo
• Monoido