Pitagora komao

La pitagora komao estas en la muziko intervalo de ĉ. okontono, do okono de plentono, ne uzata kiel memstara muzika tonpaŝo. Ĝi estas en pura agordo la diferenco de sep oktavoj al dek du kvintoj kaj nur de muzikteoria graveco. Praktikan gravecon ĝi ektenas dum la agordado de instrumentoj kun fiksaj tonaltoj, kiel ekz. klavarinstrumentoj aŭ kordinstrumentoj kun fretoj.

Kiel unua la pitagorano Filolao difinis la pitagoran komaon. La unua kalkulado de la koma-proporcio kiel 531441:524288 troviĝas je Eŭklido; ĝi baziĝas sur la oktavo kun la proporcio 2:1 kaj la pura kvinto kun la proporcio 3:2.

Klariga dedukto

La signifo de la pitagora komao evidentiĝas el jena tabelo, en kiu oni metas laŭ la kvintociklo dek du purajn kvintojn unu sur la alia. Ĉi tiuj havas po frekvencproporcion de 2:3. Apude sep oktavoj staras unu sur la alia. (Ĉi-ekzemple C estas toniko).

Ton kvinto frekvencproporcio egalas C 0 1 : 1 =  1 : 1 G 1 2 : 3 =  1 : 1,5 D 2 4 : 9 =  1 : 2,25 A 3 8 : 27 =  1 : 3,375 E 4 16 : 81 =  1 : 5,0625 B 5 32 : 243 =  1 : 7,59375 F# 6 64 : 729 =  1 : 11,390625 C# 7 128 : 2187 =  1 : 17,0859375 G# 8 256 : 6561 =  1 : 25,62890625 D# 9 512 : 19683 =  1 : 38,443359375 A# 10 1024 : 59049 =  1 : 57,6650390625 E# 11 2048 : 177147 =  1 : 86,49755859375 H# (≈ C) 12 4096 : 531441 =  1 : 129,746337890625

tono oktavo frekvencproporcio C 0 1 : 1 C 1 1 : 2 C 2 1 : 4 C 3 1 : 8 C 4 1 : 16 C 5 1 : 32 C 6 1 : 64 C 7 1 : 128

La diferenco inter ambaŭ tonoj (po-lastaj en la tabeloj) rezultigas frekvencproporcion de

${\frac {4096\cdot 128}{531441}}={\frac {2^{7}}{\left({\frac {3}{2}}\right)^{12}}}={\frac {2^{19}}{3^{12}}}={\frac {524288}{531441}}\approx {\frac {128}{129{,}746}}\approx {\frac {1}{1{,}01364}}\approx 23{,}46\;\mathrm {cendoj}$.

La diferencon inter ĉi tiuj proporcioj oni nomas pitagora komao.

La pitagora komao kiel problemo je la agordado de klavarinstrumentoj

Instrumento (kiel la modernaj klavariloj), kiu povas generi por ĉiu oktavo nur po dek du malsamajn tonojn, ne estas agordebla tiamaniere, ke oni povas ludi ĝin en ĉiuj tonaloj kun absolute puraj intervaloj. Do je la agordado de muzikiloj oni provas distribui ĉi tiun pitagoran komaon, do ĉi tiun „eraron“, kiel eble plej sencplene sur ĉiujn tonojn. Laŭ diversaj teorioj tiam rezultas la variaj agordoj. Estis ankaŭ eksperimentoj kun klavarinstrumentoj, kies oktavoj ampleksas pli ol dek du tonojn (ekz. dividitaj nigraj klavoj).

Dek du puraj kvintoj (2:3) egalas 8423,46 cendojn, sep oktavoj tamen nur 8400 cendojn. Por ke en la egalŝtupa agordo la kvintociklo fermiĝas post sep oktavoj al kvintociklo, je la agordado oni devas disdoni la pitagoran komaon sur la dek du kvintojn. Tio plimalgrandigas la puran kvinton de 701,9550 cendoj per 1,9550 cendoj al 700 cendoj.

Pura kvinto: $1200\cdot \log _{2}\left({3 \over 2}\right)\;\mathrm {cendo} \approx 701{,}9550\;\mathrm {cendoj}$.