El Vikipedio, la libera enciklopedio
La símbolo de Legendre,
, estas multiplika funkcio uzata en nombroteorio, pri kiu
argumentoj estas entjera nombro
kaj prima nombro
, kaj valoras 1, -1 aŭ 0, dependante ĉu
estas, aŭ ne, kvadrata restaĵo module
, ĉi tiu difinita per la kongrua rilato inter a kaj estanta, aŭ ne, nombro x, tielmaniere ke:
.
Tiu simbolo estis kreita de Adrien-Marie Legendre en 1798[1].
La Jakobia simbolo estas ĝeneraligo de simbolo de Legendre, pri kiu p estas iu ajn pozitiva nepara nombro.
Konsiderante ĉiuj entjerojn
kaj ĉiuj neparaj primojn
, simbolo de Legendre
estas difinita per:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,1{\text{ se }}a{\text{ estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p{\text{ kaj }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}\\-1{\text{ se }}a{\text{ ne estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p\\\;\;\,0{\text{ se }}a\equiv 0{\pmod {p}}{\text{ , t.e. }}a{\text{ estas oblo de}}\ p.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56e61c2c83aa785cefd09b69ec5c83992d4da64)
La origina difino de Legendre estis per la eksplicita formulado:
![{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}\;\;{\text{ kaj }}\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa32e24b9e270be2f94d0bf3133a06b2e6d914c3)
Laŭ la kriterio de Eŭlero, kiu estis eltrovita antaŭe kaj estis konita de Legendre, tiuj du supraj difinoj estas ekvivalentaj[2].
- * 2 estas kvadrata restaĵo modulo 7, ĉar
, kaj la kalkulo laŭ la difino de Legendre kondukas al :
![{\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)\equiv 2^{\frac {7-1}{2}}=2^{3}\equiv 1\mod 7\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b78f0cf0fc7521bcdabd47f2ced1124122cffb)
- * 5 ne estas kvadrata restaĵo modulo 7 :
![{\displaystyle \left({\frac {5}{7}}\right)\equiv 5^{\frac {7-1}{2}}=5^{3}\equiv 6\equiv -1\mod 7\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1019bf291cb61876ac2b38d7b19aae48ea6591)
- * 14 estas dividebla per 7 :
![{\displaystyle \left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{\frac {7-1}{2}}=14^{3}\equiv 0\mod 7\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544bc267893460eb362542cd142b7fb7ab01537f)
(la simbolo de Legendre estas do multiplika funkcio rilate al sia supera argumento);
fakte,
.
- Se
, do
.
, ĉar 1 estas kvadrato si mem.
(aparta kazo de -1).
(aparta kazo de 2).
se
estas nepara nombro, kaj
se para.
- Se
estas nepara primo, do ![{\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c686373f44c357c248035a1193864ebdd036f874)
la lasta propreco estas konata sub la nomo de leĝo de kvadrata reciprokeco.
- ↑ A. M. Legendre Essai sur la theorie des nombres (Eseo pri la nombroteorio) Parizo 1798, p 186
- ↑ Hardy & Wright, Thm. 83.