Teoremo de Wolstenholme

En matematiko, teoremo de Wolstenholme diras ke por ĉiu primo p > 3:

${2p-1 \choose p-1}\equiv 1\,{\bmod {\,}}p^{3}$

kie la krampo estas la simbolo de Newton. Ekzemple por p=7, ĉi tio diras ke 1716 estas oblo de 343 plus 1, kaj vere 1716=343×5+1. Ekvivalenta formulaĵo estas la kongrueco

${ap \choose bp}\equiv {a \choose b}{\bmod {\,}}p^{3}$

La teoremon unue pruvis Joseph Wolstenholme en 1862; Charles Babbage montris la ekvivalenton por p² en 1819.

Ne estas konataj komponitaj nombroj, kiuj kontentigas kondiĉon de la teoremo.

Nur malmultaj primoj kontentigas la ekvivalentan kondiĉon kun p⁴, ili estas nomataj primoj de Wolstenholme. La du konataj valoroj estas 16843 kaj 2124679.

Teoremo de Wolstenholme povas ankaŭ esti esprimita kiel paro da kongruecoj de nombroj de Bernoulli:

$(p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{2}$

$(p-1)!^{2}\left(1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p$

Ekzemple, por p=7, la unua el ili diras ke 1764 estas oblo de 49, kaj la dua diras 773136 ke estas oblo de 7.

Vidu ankaŭ

• Malgranda teoremo de Fermat