El Vikipedio, la libera enciklopedio
La trigonometria (sinusa kaj kosinusa) Furiera transformo estas formo de la Furiera transformo , uzanta trigonometriajn funkciojn (la sinuson kaj la kosinuson ) anstataŭ kompleksaj nombroj.
Sinusa Furiera transformo
f
^
s
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}}
F
s
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}(f)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
2
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
2
π
ν
t
d
t
.
{\displaystyle 2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.}
kie
t
{\displaystyle t}
ν
{\displaystyle \nu }
La funkcio
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
malpara funkcio laŭ
ν
{\displaystyle \nu }
^
f
^
s
(
ν
)
=
−
f
^
s
(
−
ν
)
∀
ν
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )\;\;\;\;\forall \nu }
Kosinusa Furiera transformo
f
^
c
{\displaystyle {\hat {f}}^{c}}
F
c
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}(f)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
2
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
2
π
ν
t
d
t
.
{\displaystyle 2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.}
kie
t
{\displaystyle t}
ν
{\displaystyle \nu }
La funkcio
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
para laŭ
ν
{\displaystyle \nu }
f
^
s
(
ν
)
=
f
^
s
(
−
ν
)
∀
ν
{\displaystyle {\hat {f}}^{s}(\nu )={\hat {f}}^{s}(-\nu )\;\;\;\;\forall \nu }
Origina funkcio
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
=
∫
0
∞
f
^
c
cos
(
2
π
ν
t
)
d
ν
+
∫
0
∞
f
^
s
sin
(
2
π
ν
t
)
d
ν
.
{\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0}^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .}
Uzas la furmulo por adicio por kosinuso, sciiĝi
π
2
(
f
(
x
+
0
)
+
f
(
x
−
0
)
)
=
∫
0
∞
∫
−
∞
∞
cos
ω
(
t
−
x
)
f
(
t
)
d
t
d
ω
,
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cos \omega (t-x)f(t)dtd\omega ,}
kie
f
(
x
+
0
)
{\displaystyle f(x+0)}
f
(
x
−
0
)
{\displaystyle f(x-0)}
dekstra kaj maldekstre limeto respektive. Se funkcio
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
Ofte uzas kampleksa formo de la Furiera transformo:
f
^
(
ν
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
2
π
i
ν
t
d
t
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.}
Uzas formulo de Eŭlera , sciiĝi, ke
f
^
(
ν
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
(
cos
2
π
ν
t
−
i
sin
2
π
ν
t
)
d
t
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
cos
2
π
ν
t
d
t
−
i
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
sin
2
π
ν
t
d
t
=
1
2
f
^
c
(
ν
)
−
i
2
f
^
s
(
ν
)
.
{\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).}
Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis , Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211 
