Vektoraj kampoj en cilindraj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
Vektoroj estas difinita en cilindraj koordinatoj per (ρ,φ,z), kie
- ρ estas la longo de la vektoro projektita sur la X-Y-ebeno,
- φ estas la angulo de la projektita vektoro kun la pozitiva abscisa akso (0 ≤ φ < 2π),
- z estas la regula z-koordinato.
(ρ,φ,z) estas donita en karteziaj koordinatoj per:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\operatorname {arctan} (y/x),&0\leq \phi <2\pi \\z&=&z\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/989691e3855502dd640730df2cd72b385a7c441e)
aŭ inverse per:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \sin \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d15ce41a7a66c8b87d291bc7601cee6827a882)
Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:
![{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4da173072e41fe14652eb6dd6e2b0a8df495016)
La cilindraj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\hat {z}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c72a53cfffbd1156f0059a206620c7aaf4c74c)
Tempa derivaĵo de vektora kampo en cilindraj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn.
En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:
![{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3fafabefeb60b804ff4466f4914ba68d16c16a)
En cilindraj koordinatoj ĉi tio estas:
![{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A_{\rho }{\boldsymbol {\dot {\hat {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}+A_{z}{\boldsymbol {\dot {\hat {z}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028a81296033ad0be330ba7ee7c6c4c100371240)
La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\dot {\hat {\rho }}}}&=&{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=&-{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {z}}}}&=&0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d46cfa24cfb82250e2066b211750ed9c1bab1ba2)
Do la tempa derivaĵo simpliĝas al:
![{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }})+{\boldsymbol {\hat {z}}}{\dot {A}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501a1ae10f548ee2127b0a247b0af0a31640e025)
Gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
La formuloj de gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj estas en artikolo nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.
Vektoroj estas difinitaj en sferaj koordinatoj per (r,θ,φ), kie
- r estas la longo de la vektoro,
- θ estas la angulo kun la pozitiva Z-akso (0 <= θ <= π),
- φ estas la angulo kun la X-Z-ebeno (0 <= φ < 2π).
(r,θ,φ) estas donita en karteziaj koordinatoj per:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arccos \left(z/r\right),&0\leq \theta \leq \pi \\\phi &=&\operatorname {arctan} (y/x),&0\leq \phi <2\pi \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3c6797fde5b6be24d047bf0abf7624e8f6fdc3)
aŭ inverse per:
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68153e05ec1f354588cd435ceeb6f7aff8d069a2)
Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:
![{\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979348a85b88edc4ce17c8d7202635c56121e559)
La sferaj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e633feb4698e2b47d5d568f27e711f80c91f520)
Tempa derivaĵo de vektora kampo en sferaj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn.
En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:
![{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3fafabefeb60b804ff4466f4914ba68d16c16a)
En sferaj koordinatoj ĉi tio estas:
![{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17bd9d5a7890819a289f05d53bf8a5c796402d55)
La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\dot {\theta }}&{\dot {\phi }}\sin \theta \\-{\dot {\theta }}&0&{\dot {\phi }}\cos \theta \\-{\dot {\phi }}\sin \theta &-{\dot {\phi }}\cos \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc48a11bd717b48ebf2ed3b648ef2f67d132d2aa)
La tempa derivaĵo estas:
![{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9441b914f6d155ae87073481a067bb00c3ff52c7)
Gradiento, diverĝenco, frizo kaj laplaca operatoro en sferaj koordinatoj[redakti | redakti fonton]
La formuloj de gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj estas en artikolo nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.